$y=\dfrac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x+m$
Txđ: $D=\mathbb R$
$y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$
$\Delta'=(m+1)^2-2(m^2+4m+3)$
$=-m^2-6m-5$
Để hàm số có hai điểm cực trị thì $\Delta'>0$
$\Rightarrow -m^2-6m-5>0\Rightarrow m>-1$ hoặc $m<-5$
Theo Vi-et: $x_1+x_2=-m-1$ và $x_1x_2=\dfrac{m^2+4m+3}{2}$
Khi đó: $A=|m^2+4m+3+4m+4|=|m^2+8m+7|$
Xét hàm $g=|m^2+8m+7|$
Vẽ đồ thị hàm số $g$
+) $g=m^2+8m+7$ với $m^2+8m+7\ge0$ (1)
+) $g=-(m^2+8m+7)$ với $m^2+8m7\le0$ (2)
Và điều kiện $m>-1$ hoặc $m<-5$
Đồ thị hàm số $g$ là phần đồ thị hàm số (1) lấy trên trục hoành.
Và lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành.
Đồ thị hàm số như hình vẽ.
Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của $A$.
