Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 6} \right) = 4{x^2}\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - 4{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) - 4{x^2} = 0\left( 1 \right)
\end{array}$
Nhận xét:
$x=0$ không là nghiệm của phương trình $(1)$ nên ta có thể chia 2 vế của phương trình có $x^2$
Khi đó: $(1)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
\left( {x - 7 + \dfrac{6}{x}} \right)\left( {x - 5 + \dfrac{6}{x}} \right) - 4 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{6}{x}} \right)^2} - 12\left( {x + \dfrac{6}{x}} \right) + 31 = 0(2)
\end{array}$
Đặt $x + \dfrac{6}{x} = t\left( {DK:\left| t \right| \ge 2\sqrt 6 } \right)$
Khi đó:
$(2)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
{t^2} - 12t + 31 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {t - 6} \right)^2} = 5\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 6 + \sqrt 5 \\
t = 6 - \sqrt 5 \left( l \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow t = 6 + \sqrt 5
\end{array}$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
x + \dfrac{6}{x} = 6 + \sqrt 5 \\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {6 + \sqrt 5 } \right)x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x.\dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{2} + {\left( {\dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + 6 - {\left( {\dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 + 12\sqrt 5 }}{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{4} + \sqrt {\dfrac{{17 + 12\sqrt 5 }}{4}} \\
x = \dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{4} - \sqrt {\dfrac{{17 + 12\sqrt 5 }}{4}}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{4} + \sqrt {\dfrac{{17 + 12\sqrt 5 }}{4}} ;\dfrac{{6 + \sqrt 5 }}{4} - \sqrt {\dfrac{{17 + 12\sqrt 5 }}{4}} } \right\}$
