Ta có: `u_{n+1}={u_n+1}/2`
`u_1=2`
`u_2={u_1+1}/2={2+1}/2=3/2`
`u_3={u_2+1}/2=5/4`
Ta thấy:
`u_1=2=2/1=1+1/{2^{1-1}}`
`u_2=3/2=1+1/{2^{2-1}}`
`u_3=5/4=1+1/{2^{3-1}}`
Giả sử: `u_n=1+1/{2^{n-1}}` $(1)$
Ta chứng minh $(1)$ đúng $\forall n\in N$*
+) Với `n=1=>u_1=2` (đúng)
+) Giả sử `(1)` đúng với `n=k≥1`, tức là:
`u_k=1+1/{2^{k-1}}` đúng.
+) Ta c/m `(1)` đúng với `n=k+1`,
tức là cần c/m:
`u_{k+1}=1+1/{2^{k+1-1}}=1+1/{2^k}`
Thật vậy, với `n=k+1` ta có:
`u_{k+1}={u_k+1}/2` (công thức đề bài cho)
`<=>u_{k+1}={1+1/{2^{k-1}}+1}/2`
`<=>u_{k+1}={2.2^{k-1}+1}/{2^{k-1}.2}`
`<=>u_{k+1}={2^k+1}/{2^k}=1+1/{2^k}`
`=>(1)` đúng với $n=k+1$
`=>(1)` đúng $\forall n\in N$*
Vậy công thức tổng quát của `u_n` là:
`u_n=1+1/{2^{n-1}}` $(n\in N$*)
