Đáp án: $m=-1$

Giải thích các bước giải:

Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt

$\to \Delta'>0$

$\to (m^2+2)^2-1(2m^2+1)>0$

$\to m^4+2m^2+3>0$ luôn đúng

$\to$Phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$ thỏa mãn

$\begin{cases}x_1+x_2=2(m^2+2)\\x_1x_2=2m^2+1\end{cases}$

Mà $2(m^2+2)\ge 2(0+2)=4$

$\to x_1+x_2>4$

$\to (x_1-1)+(x_2-1)>2$

$\to (x_1-1)+(x_2-1)>0$

Trong $2$ số $x_1-1, x_2-1$ tồn tại ít nhất $1$ số dương $(1)$

Ta có:

$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=(2m^2+1)-2(m^2+2)+1=-2<0$

$\to (x_1-1)(x_2-1)<0(2)$

Từ $(1), (2)$ kết hợp $x_1<x_2$

$\to x_1-1<0<x_2-1$

Mà $|x_2-1|-|x_1-1|-2|x_1x_2|=4m+2$

$\to (x_2-1)+(x_1-1)-2|2m^2+1|=4m+2$

$\to x_1+x_2-2-2(2m^2+1)=4m+2$

$\to 2(m^2+2)-2-2(2m^2+1)=4m+2$

$\to 2m^2+4m+2=0$

$\to 2(m+1)^2=0$

$\to m=-1$

Để phương trình có 22 nghiệm phân biệt

→Δ′>0→Δ′>0

→(m2+2)2−1(2m2+1)>0→(m2+2)2−1(2m2+1)>0

→m4+2m2+3>0→m4+2m2+3>0 luôn đúng

→→Phương trình luôn có 22 nghiệm phân biệt x1,x2x1,x2 với mọi mm thỏa mãn

{x1+x2=2(m2+2)x1x2=2m2+1{x1+x2=2(m2+2)x1x2=2m2+1

Mà 2(m2+2)≥2(0+2)=42(m2+2)≥2(0+2)=4

→x1+x2>4→x1+x2>4

→(x1−1)+(x2−1)>2→(x1−1)+(x2−1)>2

→(x1−1)+(x2−1)>0→(x1−1)+(x2−1)>0

Trong 22 số x1−1,x2−1x1−1,x2−1 tồn tại ít nhất 11 số dương (1)(1)

Ta có:

(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=(2m2+1)−2(m2+2)+1=−2<0(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=(2m2+1)−2(m2+2)+1=−2<0

→(x1−1)(x2−1)<0(2)→(x1−1)(x2−1)<0(2)

Từ (1),(2)(1),(2) kết hợp x1<x2x1<x2

→x1−1<0<x2−1→x1−1<0<x2−1

Mà |x2−1|−|x1−1|−2|x1x2|=4m+2|x2−1|−|x1−1|−2|x1x2|=4m+2

→(x2−1)+(x1−1)−2|2m2+1|=4m+2→(x2−1)+(x1−1)−2|2m2+1|=4m+2

→x1+x2−2−2(2m2+1)=4m+2→x1+x2−2−2(2m2+1)=4m+2

→2(m2+2)−2−2(2m2+1)=4m+2→2(m2+2)−2−2(2m2+1)=4m+2

→2m2+4m+2=0→2m2+4m+2=0

→2(m+1)2=0→2(m+1)2=0

→m=−1

Vay m=-1