Đáp án:
`a)` `(1;1);(3;9)`
`b)` `m=3/2`
Giải thích các bước giải:
`(d)y=mx-m+1`
`a)` Với `m=4`
`=>(d)y=4x-4+1=4x-3`
Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=x^2` và `(d)y=4x-3` là:
`\qquad x^2=4x-3`
`<=>x^2-4x+3=0`
Ta có: `a=1;b=-4;c=3`
Vì `a+b+c=1+(-4)+3=0`
`=>` Phương trình có hai nghiệm:
`\qquad x_1=1; x_2=c/a=3`
+) Với `x=1=>y=x^2=1^2=1` ta có điểm `(1;1)`
+) Với `x=3=>y=x^2=3^2=9` ta có điểm `(3;9)`
Vậy với `m=4` tọa độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là: `(1;1); (3;9)`
$\\$
`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=x^2` và `(d)y=mx-m+1` là:
`\qquad x^2=mx-m+1`
`<=>x^2-mx+m-1=0`
Ta có: `a=1;b=-m;c=m-1`
`∆=b^2-4ac=(-m)^2-4.1.(m-1)`
`=m^2-4m+4=(m-2)^2`
$\\$
Để `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt có hoành độ `x_1 , x_2`
`=>` phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`<=>∆>0⇔(m-2)^2>0<=>m\ne 2`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{cases}$
$\\$
Vì `x_1;x_2` là độ dài hai cạnh của tam giác vuông nên `x_1;x_2>0`
`=>x_1+x_2>0` và `x_1x_2>0`
`=>m>0` và `m-1>0`
`=>m>1`
Với $a\ (a>0)$ là độ dài cạnh huyền ta có:
`\qquad a^2=x_1^2+x_2^2` (định lý Pytago)
`<=>a^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`<=>a^2=m^2-2(m-1)=m^2-2m+2`
$\\$
Vì độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng `1/{\sqrt{5}}` nên `h=1/{\sqrt{5}}`
Ta có:
`S_{∆}=1/ 2 x_1x_2=1/ 2 ah`
`<=>x_1x_2=ah`
`<=>(x_1x_2)^2=(ah)^2=a^2 h^2`
`<=>(m-1)^2=(m^2-2m+2). 1/ 5`
`<=>5(m^2-2m+1)=m^2-2m+2`
`<=>4m^2-8m+3=0`
`∆'=(-4)^2-4.3=4>0`
`=>\sqrt{∆'}=2`
`∆'>0=>` phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$\qquad \left[\begin{array}{l}m=\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{3}{2}\ (thỏa\ đk)\\m=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}\ (loại)\end{array}\right.$
Vậy `m=3/ 2` thỏa đề bài
