Kẻ đường kính AJ của đường tròn tâm O => góc ABJ =$90^{o}$
=> JAB = 90 - AJB
xét tam giác ACD vuông tại D nên ta có
CAD = 90 - ACB
=> JAB = CAD ( vì AJB = ACD do là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Ta lại có góc CAD= góc EBC do cùng phụ với góc ACB => góc EBC = góc JAB
Vì 3 góc E,D,F cùng nhìn cạnh AB cố định dưới 1 góc $90^{o}$ nên E,D,F,A,B nội tiếp đường tròn tâm I như hình vẽ
Ta có góc EAD = góc EBC ( 2 góc nt cùng chắn cung ED )
Tương tự sẽ có BDF = FAB ( cùng chắn cung FB)
Mà EBC = FAB nên => EAD = BDF mà hai góc ở vị trí so le trong nên DF//AB=> cung ED = cung BF
Xét hình thang EBFD có góc BED = 1/2 sđ ( cungBF + cung DF )
góc EBF = 1/2 sđ ( cung DF + cung DE )
Mà cung BF= cung DE ( cmt )=> góc EBF = góc BED
=> tứ giác EBFD cân ( đpcm)
b)gọi K là giao điểm của EF và BC
ta có góc KEB = góc KBE ( do là hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau ( cung ED và cung BF) )
=> tam giác KEB cân tại K và KE = KB (1)
góc CEK = 90 - KEB = 90 - KBE
gócECK = 90 -KBE
=> CEK = ECK => tam giác CEK cân => KC=KE(2)
từ (1),(2) => KC =KB => K là trung điểm BC
Vậy EF đi qua trung điểm BC( đpcm)
