a, HM ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{HMA}=90°$
HN ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{HNA}=90°$
Xét tứ giác AMHN có: $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
b, AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABH vuông tại H ($\widehat{AHB}=90°$), HM ⊥ AB (gt) có: AH² = AM.AB
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔACH vuông tại H ($\widehat{AHC}=90°$), HN ⊥ AC (gt) có: AH² = AN.AC
⇒ AM.AB = AN.AC
c, Xét (O), đường kính AE có: C ∈ (O) (gt)
⇒ $\widehat{ACE}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay $\widehat{ECN}=90°$
Xét ΔACE vuông tại C ($\widehat{ACE}=90°$) có:
$\widehat{CAE}+\widehat{AEC}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{NAI}+\widehat{AEC}=90°$
Xét (O) có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AC}$)
AM.AB = AN.AC (cmt) ⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$
Xét ΔAMN và ΔACB có:
$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (cmt)
$\widehat{BAC}$: góc chung
⇒ ΔAMN ~ ΔACB (c.g.c)
⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (cmt)
⇒ $\widehat{AEC}=\widehat{ANM}$ Hay $\widehat{AEC}=\widehat{ANI}$
Mà $\widehat{NAI}+\widehat{AEC}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{NAI}+\widehat{ANI}=90°$
Xét ΔANI có: $\widehat{NAI}+\widehat{ANI}=90°$ (cmt)
⇒ ΔANI vuông tại I ⇒ AE ⊥ MK tại I
⇒ $\widehat{EIN}=90°$
Xét tứ giác CEIN có: $\widehat{ECN}+\widehat{EIN}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CEIN nội tiếp đường tròn đường kính NE
Có AE ⊥ MK tại I (cmt) ⇒ $\widehat{AIN}=90°$
Xét ΔAIN và ΔACE có:
$\widehat{AIN}=\widehat{ACE}=90°$
$\widehat{CAE}$: góc chung
⇒ ΔAIN ~ ΔACE (g.g)
⇒ $\frac{AI}{AC}=\frac{AN}{AE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AI.AE = AN.AC
Mà AH² = AN.AC (cmt)
⇒ AH² = AI.AE
Xét (O), đường kính AE có: K ∈ (O)
⇒ $\widehat{AKE}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAKE vuông tại K ($\widehat{AKE}=90°$), KI ⊥ AE (KM ⊥ AE) có:
AK² = AI.AE
Mà AH² = AI.AE (cmt)
⇒ AK² = AH² ⇒ AK = AH
Xét ΔAKH có: AK = AH (cmt)
⇒ ΔAKH cân tại A
