Đáp án:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\sqrt[3]{x}\ \ln(1 + 3x)}{\left(\arctan\sqrt x\right)^2\left(e^{\displaystyle{5\sqrt[3]{x}}}-1\right)}= \dfrac35\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\sqrt[3]{x}\ \ln(1 + 3x)}{\left(\arctan\sqrt x\right)^2\left(e^{\displaystyle{5\sqrt[3]{x}}}-1\right)}\\
\text{Khi $x\to 0$ ta được các vô cùng bé tương đương sau:}\\
\sin\sqrt[3]x \sim \sqrt[3]x\\
\ln(1 + 3x) \sim 3x\\
\arctan\sqrt x \sim \sqrt x\\
e^{\displaystyle{5\sqrt[3]{x}}}-1 \sim 5\sqrt[3]x\\
\text{Khi đó:}\\
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\sqrt[3]{x}\ \ln(1 + 3x)}{\left(\arctan\sqrt x\right)^2\left(e^{\displaystyle{5\sqrt[3]{x}}}-1\right)} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]x\cdot 3x}{\left(\sqrt x\right)^2\cdot 5\sqrt[3]x} = \dfrac35
\end{array}\)
