Đáp án:

$1)\quad y=\pm \dfrac{\sqrt{C_1e^{2x} - (x+1)^2}}{|x+1|}$ với $C_1$ là hằng số dương tùy ý

$2)\quad y = C_1 + C_2e^{2x} -\dfrac16x^3 + \dfrac34x^2 - \dfrac74x$

Giải thích các bước giải:

$1)\quad x(y^2 + 1)dx - (x+1)ydy = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+1}dx - \dfrac{y}{y^2 +1}dy = 0$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\dfrac{x}{x+1}dx - \displaystyle\int\dfrac{y}{y^2 +1}dy = C$

$\Leftrightarrow x - \ln|x+1| - \dfrac12\ln(y^2 +1) = C$

$\Leftrightarrow \ln(y^2 +1)= 2x - 2\ln|x+1| - 2C$

$\Leftrightarrow y^2 + 1 = e^{2x - 2\ln|x+1| - 2C}$

$\Leftrightarrow y^2 = \dfrac{e^{2x - 2C}}{e^{2\ln|x+1|}} - 1$

$\Leftrightarrow y^2 = \dfrac{e^{2x - 2C} - e^{2\ln|x+1|}}{e^{2\ln|x+1|}}$

$\Leftrightarrow y=\pm \dfrac{\sqrt{e^{2x - 2C} - (x+1)^2}}{|x+1|}$

$\Leftrightarrow y=\pm \dfrac{\sqrt{C_1e^{2x} - (x+1)^2}}{|x+1|}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$y=\pm \dfrac{\sqrt{C_1e^{2x} - (x+1)^2}}{|x+1|}$ với $C_1$ là hằng số dương tùy ý

$2)\quad y'' - 2y' = x^2 - 4x + 5\qquad (*)$

Xét phương trình đặc trưng:

$k^2 - 2k = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 0\\k = 2\end{array}\right.$

Do đó nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C_1 + C_2e^{2x}$

Ta có: $f(x)= x^2 - 4x + 5 = e^{0x}(x^2 - 4x + 5)$

Do $\gamma = 0$ là một nghiệm của phương trình đặc trưng

nên nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$\quad y = x.e^{0x}(Ax^2 +Bx +C)$

$\Leftrightarrow y = Ax^3 +Bx^2 + Cx$

$\Rightarrow y' = 3Ax^2 + 2Bx + C$

$\Rightarrow y'' = 6Ax + 2B$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad 6Ax + 2B - 2(3Ax^2 +2Bx +C) = x^2 - 4x + 5$

$\Leftrightarrow - 6Ax^2 + (6A - 4B)x + 2B - 2C = x^2 - 4x + 5$

Đồng nhất hai vế ta được:

$\begin{cases}- 6A = 1\\6A - 4B = -4\\2B - 2C = 5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = -\dfrac16\\B = \dfrac34\\C = - \dfrac74\end{cases}$

Do đó nghiệm riêng của $(*)$ là:

$\quad y = -\dfrac16x^3 + \dfrac34x^2 - \dfrac74x$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$y = C_1 + C_2e^{2x} -\dfrac16x^3 + \dfrac34x^2 - \dfrac74x$

___________________________________

Cách khác:

Đặt $p = y'$

$\Rightarrow p' = y''$

Phương trình trở thành:

$p' - 2p = x^2 - 4x + 5\qquad (**)$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad p = C.e^{\displaystyle\int 2dx}$

$\Leftrightarrow p = C.e^{2x}$

Do đó nghiệm của $(**)$ có dạng:

$\quad p= C(x).e^{2x}$

$\Rightarrow p' = C'(x).e^{2x} + 2C(x).e^{2x}$

Thay vào $(**)$ ta được:

$\quad C'(x).e^{2x} + 2C(x).e^{2x} - 2C(x).e^{2x} = x^2 - 4x + 5$

$\Leftrightarrow C'(x)= \dfrac{x^2 - 4x +5}{e^{2x}}$

$\Leftrightarrow C(x)= - \dfrac{2x^2 - 6x +7}{4e^{2x}} + C$

Ta được:

$\quad p = - \dfrac{2x^2 - 6x + 7}{4} + Ce^{2x}$

$\Leftrightarrow y' = - \dfrac{2x^2 - 6x + 7}{4} + Ce^{2x}$

$\Leftrightarrow y = - \dfrac16x^3 + \dfrac34x^2 - \dfrac74x + \dfrac12Ce^{2x} + C_1$

$\Leftrightarrow y = - \dfrac16x^3 + \dfrac34x^2 - \dfrac74x + C_2e^{2x} + C_1$