Gọi $R$ là bán kính của $(O)$
`a)` Ta có: $OA=OC=R$
`=>∆OAC` cân tại $O$
Vì $OM\perp AC$ (gt)
Gọi $D$ là giao điểm của $OM$ và $AC$
`=>OD`$\perp AC$
`=>OD` vừa là đường cao và đường trung trực $∆OAC$
`M\in OD=>MD` là trung trực của $AC$
`=>MC=MA`
$\\$
Xét $∆MCO$ và $∆MAO$ có:
`\qquad MO` là cạnh chung
`\qquad OC=OA=R`
`\qquad MC=MA` (c/m trên)
`=>∆MCO=∆MAO` (c-c-c)
`=>\hat{MCO}=\hat{MAO}=90°`
`=>MC`$\perp OC$
`=>MC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ (đpcm)
$\\$
`b)` $AB$ là đường kính của $(O)$
`=>` $O$ là trung điểm $AB$; $AB=2R$
`=>CO` là trung tuyến $∆ABC$
Mà `CO=R=1/ 2 AB`
`=>∆ABC` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>CB`$\perp AC$
Vì $OM\perp AC$ (gt)
`=>OM`//$CB$
`=>\hat{AOM}=\hat{HBC}` (hai góc đồng vị)
$\\$
Xét $∆AOM$ và $∆HBC$ có:
`\qquad \hat{MAO}=\hat{CHB}=90°`
`\qquad \hat{AOM}=\hat{HBC}` (c/m trên)
`=>∆AOM∽∆HBC` (g-g)
`=>{MA}/{CH}={OA}/{BH}`
`=>MA.BH=CH.OA` $(1)$
$\\$
Xét $∆MAB$ có $IH$//$MA$ (cùng $\perp AB$)
`=>{IH}/{MA}={BH}/{BA}` (hệ quả định lý Talet)
`=>MA.BH=IH.BA` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>CH.OA=IH.BA`
`=>CH.OA=IH.2OA` (vì $BA=2R=2OA$)
`=>CH=2IH`
`=>CI+IH=2IH`
`=>CI=IH` (đpcm)
