$1$.
$a$ ) Đặt $d$ $=$ `ƯCLN(n+1;2n+3)`
`⇒` $\left \{ {{n+1 \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$
$⇒$ $2n+3-2(n+1) \vdots d$
$⇒$ $2n+3 - 2x - 2 \vdots d$
$⇔$ $1 \vdots d$
$⇒$ $d$ $∈$ `Ư(1)={±1}`
Vậy $\dfrac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản ($đpcm$)
$b$) Đặt $d$ = `ƯCLN(2n+3;4n+8)`
$⇒$ $\left \{ {{2n+3 \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$
$⇒$ $4n+8-2(2n+3) \vdots d$
$⇒$ $4n+8 - 4n - 6 \vdots d$
$⇔$ $2$ $\vdots$ $d$
$⇒$ $d$ $∈$ `{±1;±2}`
Mà : $2n+3$ là số lẻ $⇒$ $d$ $∈$ `{±1}`
Vậy $\dfrac{2n+3}{4n+8}$ là phân số tối giản($đpcm$)
$c$) Đặt $d$ $=$ `ƯCLN(8n+5;6n+4)`
`⇒` $\left \{ {{8n+5 \vdots d} \atop {6n+4 \vdots d}} \right.$
$⇒$ $4(6n+4) - 3(8n+5) \vdots d$
$⇔$ $24n + 16 - 24n - 15 \vdots d$
$⇔$ $1 \vdots d$
$⇒$ $d$ $∈$ `{±1}`
Vậy $\dfrac{8n+5}{6n+4}$ là phân số tối giản($đpcm$)
$2$.
$a$) $\dfrac{n+3}{n-2}$
Để $\dfrac{n+3}{n-2}$ $∈$ $Z$ thì : $n+3 \vdots n-2$
$⇔ n + 3 - (n-2) \vdots n-2$
$⇔ n + 3 - n + 2 \vdots n-2$
$⇔ 5 \vdots n-2$
$⇒$ $n-2$ $∈$ `Ư(5)={±1;±5}`
Vì : $\dfrac{n+3}{n-2}$ là số nguyên âm $⇒$ $n-2$ $=-1 ⇔ n=1$
Vậy $n$ $=1$
$b$) $\dfrac{n+7}{3n-1}$
Để $\dfrac{n+7}{3n-1}$ là số nguyên âm thì : $n+7 \vdots 3n-1$
$⇔ 3(n+7) - (3n-1) \vdots 3n-1$
$⇔ 3n + 21 - 3n + 1 \vdots 3n-1$
$⇔ 22 \vdots 3n-1$
$⇒$ $3n-1$ $∈$ `Ư(22)={±1;±2;±11;±22}`
Vì $3n-1$ chia $3$ dư $-1$ và $2$ $⇒$ $3n-1$ $∈$ `{-22;-1;2;11}`
$⇔$ $n$ $∈$ `{-7;0;1;4}`
Vậy $n$ $∈$ `{-7;0;1;4}`
$c$) $\dfrac{3n+2}{4n-5}$
Để $\dfrac{3n+2}{4n-5}$ $∈$ $N$ thì : $3n+2 \vdots 4n-5$
$⇔ 4(3n+2) - 3(4n-5) \vdots 4n-5$
$⇔ 12n + 8 - 12n + 15 \vdots 4n-5$
$⇔ 23 \vdots 4n-5$
$⇒$ $4n-5$ $∈$ `Ư(23)={±1;±23}`
Mà $4n-5$ chia $4$ dư $3$ và dư $-1$ $⇒$ $4n-5$ $∈$ `{-1;23}`
$⇔$ $n$ $∈$ `{1;7}`
Vì $\dfrac{3n+2}{4n-5}$ là số tự nhiên nên $n=7$
Vậy $n=7$.
