a) Ta có: $m = \dfrac{n^2 + n + 1}{n+1} = \dfrac{n(n+1)+1}{n+1} = n + \dfrac{1}{n+1}(ĐK: n \neq -1)$
Vì $m$ là số nguyên nên tổng $ n + \dfrac{1}{n+1}$ là một số nguyên
mà $n$ cũng là một số nguyên nên $\dfrac{1}{n+1}$ là một số nguyên
⇒ $n+1$ là ước của 1
⇒ (n+1) ∈ {1;-1}$
Tương ứng n ∈ {0; -2} (T/m)
- Với n = 0 ta có $m = \dfrac{0^2 + 0 + 1}{0+1} = \dfrac{1}{1} = 1$ (T/m)
- Với n = -2 ta có $m =\dfrac{(-2)^2 +(-2) + 1}{-2+1} = -3$ (T/m)
Vậy (m;n) ∈ {(1; 0); (-3; -2)}$
b. Ta có: $A = n^3 + 3n^2 + 5n + 3(n∈N*)$
⇔ $A = (n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n) + (3n + 3)$
⇔ $A = [n^2(n+2) + n(n+2)] + 3(n+1)$
⇔ $A = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)$
Vì $n ∈ N*$ nên $n(n+1)(n+3)$ là tích của ba số tự nhiên liên tiếp
Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho ba
nên $\text{ $n(n+1)(n+2)$ $\vdots$ $3$}$
Lại có: $\text{$3(n+1)$ $\vdots$ $3$}$
⇒ $\text{$n(n+1)(n+2) + 3(n+1)$ $\vdots$ $3$}$
Hay $A \vdots 3$ với n ∈ N*
c. Ta có: a chia cho 13 dư 2
⇒ $a = 13m + 2 (m ∈ N)$
b chia cho 13 dư 3
⇒ $b = 13n + 3 (n ∈ N)$
Do đó: $a^2 + b^2 = (13m+2)^2 + (13n+3)^2$
$= (13m)^2 + 52m + 4 + (13n)^2 + 78n + 9$
$= 169m^2 + 52m + 169n^2 + 78n + 13$
$=13(13m^2 + 4m + 13n^2 + 6n + 1)$
Vậy $\text{$a^2 + b^2$ $\vdots$ 13}$
