Bài 1: Cho số thực dương ab + bc + ca =1. Tìm GTLN của $P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ Bài 2: Cho x,y,z là số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz . CMR: \(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz

nickcuatui1508

5 năm trước

Bài 1: Cho số thực dương ab + bc + ca =1. Tìm GTLN của

$P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$

Bài 2: Cho x,y,z là số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz . CMR:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 2594 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thanhyeu2001105

Bài 1:

Ta có: $\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}$

$\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}$

$\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}$

Vậy $P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$P\le a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{9}{4}$

Bài 2:

Ta có:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\dfrac{2+\dfrac{4+\left(1+x^2\right)}{2}}{2x}=\dfrac{9+x^2}{4x}$

Tương tự ta cũng có:

$\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\dfrac{9+y^2}{4y};\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+z^2}{4z}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+x^2}{4x}+\dfrac{9+y^2}{4y}+\dfrac{9+z^2}{4z}$

$=\dfrac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\dfrac{9\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

giải và biện luận pt : $\left(m^2+2\right)x=x-2m$ ( m là tham số )

cho $\begin{cases}a+b+c>0\\ab+bc+ca>0\\abc>0\end{cases}$

chứng minh rằng $a,b,c>0$

cho a, b, c $\in\left(0;1\right)$. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau đây là sai :

$a\left(1-b\right)>\frac{1}{4}$

$b\left(1-c\right)>\frac{1}{4}$

$c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}$

Bài 23 (SBT trang 195)

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai ?

a) $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$

b) $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin x$

c) $\sin\left(x-\pi\right)=\sin x$

d) $\cos\left(x-\pi\right)=\cos x$

giải pt $\frac{\left|x+2\right|-x}{x}\ge2$

cho pt : $m^2x=9x+m^2-4m+3\left(1\right)$

a) tìm m để pt (1 ) có tập nghiệm là R

b) tìm m $\in Z$ để pt (1) có duy nhất nghiệm và nghiệm đó là số nguyên

Viết phương trình hàm số y = ax + b của đường thẳng:

a) Đi qua điểm A(4; 3), B(2;- 1).

b) Đi qua điểm A(1;- 1) và song song với Ox.

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1 Cm

1/(a2+2b2+3)+1/(b2+2c2+3)+1/(c2+2a2+3)<=1/2

chứng minh $\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1$a3b(2c+a) +b3c(2a+b) +c3a(2b+c) ≥1

hãy cho biết chân trị của các mệnh đề sau:

a) nếu 12 > 25 thì nước sôi ở 100oC

b) Nếu 3<4 thì 5< 1

c) nếu 1+1 =2 thì 1+3 = 5

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến