Bài 1:
Ta có:
$sin\widehat{B} = \dfrac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AB = \dfrac{AH}{sin\widehat{B}} = \dfrac{5}{sin35^o} \approx 8,72 \,cm$
$sin\widehat{C} =\dfrac{AH}{AC}$
$\Rightarrow AC = \dfrac{AH}{sin\widehat{C}} = \dfrac{5}{sin50^o} \approx 6,53\, cm$
$BC = BH + CH$
$= \dfrac{AB}{tan\widehat{B}} + \dfrac{AH}{tan\widehat{C}} = 5.\left(\dfrac{1}{tan35^o} + \dfrac{1}{tan50^o}\right)\approx 11,34 \, cm$
Bài 2:
Áp dụng định lý $cosin$ ta được:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BC.cos\widehat{B}$
Đặt $BC = x \, (x > 0)$ ta được:
$11^2 = 14^2 + x^2 - 28x.cos40^o$
$\Leftrightarrow x^2 - 28x.0,766 + 14^2 - 11^2 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - 21,448x + 75 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x= 3,49911\\x = 17,0489\end{array}\right.$
Bài 3:
Ta có:
$tanB = \dfrac{AD}{BD}$
$tanC = \dfrac{AD}{DC}$
$\Rightarrow tanB.tanC = \dfrac{AD^2}{BD.DC}$ $(*)$
Xét $∆BHD$ và $∆ACD$ có:
$\widehat{BHD} = \widehat{AHC} = 90^o$
$\widehat{HBD} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)
Do đó $∆BHD\sim ∆ACD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{HD}{DC}$
$\Rightarrow BD.DC = AD.HD$
Thay vào $(*)$ ta được:
$tanB.tanC = \dfrac{AD^2}{AD.HD} = \dfrac{AD}{HD}$
Ta lại có: $HD:HA= 1:2$
$\Rightarrow HD:AD= 1:3$
$\Rightarrow AD = 3HD$
Vậy $tanB.tanC = \dfrac{3HD}{HD} = 3$
