Bài 1
Xét ptrinh hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ ta có
$x + 1 = 2$
$<-> x = 1$
Vậy tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $(1, 2)$
Để 3 đường thẳng đồng quy thì $d_3$ cũng phải đi qua giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Do đó $d_3$ đi qua $(1,2)$. Tức là
$2 = (2m+3).1 -1$
$<-> m= 0$
Vậy $m = 0$ thì 3 đường thẳng đồng quy.
Bài 2
Gọi A, B là giao điểm của $d$ với Ox, Oy. Khi đó, ta có
$A(-\dfrac{2}{m^2+1},0), B(0,2)$
Hạ $OH \perp AB$.
KHi đó, OH là khoảng cách từ gốc tọa độ đến $d$.
Có tam giác OAB vuông tại O. Áp dụng hệ thức lượng ta có
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$
$<-> \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{(m^2+1)^2}{4} + \dfrac{1}{4}$
$<-> \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{m^4 + 2m^2 + 2}{4}$
$<-> OH^2 = \dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}$
$<-> OH = \sqrt{\dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}}$
Để OH lớn nhất thì $\dfrac{4}{m^4 + 2m^2 + 2}$ lớn nhất, hay $m^4 + 2m^2 + 2$ nhỏ nhất.
Ta có
$m^4 + 2m^2 + 2 = (m^2+1)^2 + 1 \geq 1 +1 = 2$
Dấu "=" xảy ra khi $m = 0$.
Vậy để khoảng cách từ gốc tọa độ tới d là lớn nhất thi $m = 0$.
