Do tam giác ABC cân và AM là trung tuyến nên AM là đường cao. Suy ra tam giác ABM và ACM vuông tại M.
Mặt khác, K là trung điểm AB nên MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABM. Do đó
$AK = KM = \dfrac{1}{2} AB$
CMTT ta cũng có
$AI = IM = \dfrac{1}{2} AC$.
Do tam giác ABC cân nên $AB = AC$. Vậy
$AK = KM = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} AC = AI = IM$.
Do đó tứ giác AKMI có 4 cạnh bằng nhau, suy ra nó là hình thoi.
Do N đxứng với M qua I nên MI = IN.
Vậy ta có IM = IN = IC = IA. Do đó tứ giác AMCN là hình bình hành do có I là tâm đối xứng.
Mặt khác, lại có $\widehat{AMC} = 90^{\circ}$.
Vậy tứ giác AMCN là hình chữ nhật.
