$S^{}$ = $1^{}$ $-^{}$ $3^{}$ $+^{}$ $3^{2}$ $-^{}$ $3^{3}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $3^{99}$ $-^{}$ $3^{100}$
⇒ $3S^{}$ = $3^{}$$(^{}$ $1^{}$ $-^{}$ $3^{}$ $+^{}$ $3^{2}$ $-^{}$ $3^{3}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $3^{99}$ $-^{}$ $3^{100}$$)^{}$
⇒ $3S^{}$ = $3^{}$ $-^{}$ $3^{2}$ $+^{}$ $3^{3}$ $-^{}$ $3^{4}$ $+^{}$ $...^{}$ $+^{}$ $3^{100}$ $-^{}$ $3^{101}$
⇒ $S^{}$ + $3S^{}$ = ($1^{}$ $-^{}$ $3^{}$ $+^{}$ $3^{2}$ $-^{}$ $3^{3}$ $+^{}$$...^{}$$+^{}$ $3^{99}$ $-^{}$ $3^{100}$) + ($3^{}$ $-^{}$ $3^{2}$ $+^{}$ $3^{3}$ $-^{}$ $3^{4}$ $+^{}$ $...^{}$ $+^{}$ $3^{100}$ $-^{}$ $3^{101}$)
⇒ $4S^{}$ = $1^{}$ $-^{}$ $3^{101}$
⇒ $S^{}$ = $\frac{1^{}-3^{101}}{4}$
