Đáp án:
$d(H, (SAB))=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Giải thích các bước giải:
Gọi F là trung điểm của AB
E là trung điểm của AF
K là hình chiếu của H trên SE
Ta có: HE là đường trung bình của $\Delta AIF$ (H là trung điểm của AI, E là trung điểm của AF)
$\to HE//IF$
Mà IF//BC, BC $\bot AB$
$\to IF \bot AB$
$\to HE\bot AB$
$\to HE=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại S:
I là trung điểm của AC
$\to SI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
$\to SI=\dfrac{1}{2}AC$
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$
$\to SI=a$
H là trung điểm của AI
$\to HI=\dfrac{1}{2}AI=\dfrac{1}{4}AC=\dfrac{a}{2}$
Vì H là hình chiếu của S lên (ABCD)
$\to SH \bot HI$
$\to SH=\sqrt{SI^2-HI^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac{a}{2})^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì HE $\bot BC$
và K là hình chiếu của H lên SE, SE $\in$ (SAB)
$\to d(H,(SAB))=HK$
$\Delta SHE$ vuông tại H
$\to \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HE^2}\\\to HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
