Đáp án:
1) Xét pt hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}
- {x^2} = mx + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} + mx + 2 = 0\\
\Delta = {m^2} - 4.2 = {m^2} - 8
\end{array}$
Để chúng cắt nhau tại điểm duy nhất thì pt hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 8 = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} = 8\\
\Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 2 \\
Vậy\,m = \pm 2\sqrt 2
\end{array}$
2)
$\begin{array}{l}
A \in \left( P \right)\\
\Leftrightarrow m = - {\left( { - 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow m = - 4\\
B \in \left( d \right)\\
\Leftrightarrow n = m.1 + 2\\
\Leftrightarrow n = - 4 + 2 = - 2\\
Vậy\,m = - 4;n = - 2
\end{array}$
3) Gọi điểm cố định mà (d) luôn đi qua là $C\left( {x;y} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = mx + 2\dforall m\\
\Leftrightarrow mx = y - 2\dforall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow C\left( {0;2} \right)\\
Do:OH \bot d;C \in d\\
\Leftrightarrow OH \le OC\\
\Leftrightarrow GTLN:OH = OC\\
Khi:H \equiv C\\
\Leftrightarrow OC \bot d\\
PT:OC:x = 0\\
\Leftrightarrow PT:\left( d \right):y = 2\\
\Leftrightarrow m = 0\\
Vậy\,m = 0
\end{array}$
