a) $\triangle$ ABC đều $\Rightarrow$ AH là đường trung tuyến của $\triangle$ ABC
$\Rightarrow$ HC = $\frac{1}{2}$ BC
$\triangle$ AHC có M;N lần lượt là trung điểm của AM ; AC
$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\triangle$ AHC
$\Rightarrow$ MN // HC $\Rightarrow$ MN // BC
MN = $\frac{1}{2}$ HC mà HC = $\frac{1}{2}$ BC
$\Rightarrow$ MN = $\frac{1}{4}$ BC
$\Rightarrow$ 4.MN =BC
b) Ta có $\triangle$ ANK = $\triangle$ CNH ( c.g.c) $\Rightarrow$ AK = HC ; AK // HC
CMTT : AH = CK ; AH // CK
Tứ giác AHCK có 2 cạnh đối song song và bằng nhau
$\Rightarrow$ AHCK là hình bình hành mà $\widehat{AHC}$ = $90^{o}$
$\Rightarrow$ AHCK là hình chữ nhật
c) Ta có MN // HC ( CM câu a)
$\Rightarrow$ MN // BH
$\triangle$ BKH có N là trung điểm của HK ( AHCK là hình chữ nhật) ; MN // BH
$\Rightarrow$ M là trung điểm của BK ( t/c đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow$ B ; M; K thẳng hàng
d) Ta có $\triangle$ ABC đều $\Rightarrow$ CQ là đường trung tuyến ; là đường cao của $\triangle$ AQC
$\Rightarrow$ $\triangle$ AQC vuông tại Q
Xét $\triangle$ AQC và $\triangle$ HQK có
AQ = HQ ( = AN; CM : ANHQ là hình bình hành)
AC = HK ( AHCK là hình chữ nhật)
QC =QK ( $\triangle$ QKN = $\triangle$ QCN)
$\Rightarrow$ $\triangle$ AQC = $\triangle$ HQK( c.c.c)
$\Rightarrow$ $\widehat{AQC}$ = $\widehat{HQK}$ = $90^{o}$
$\Rightarrow$ QK ⊥ QH
