Đáp án:
a) Theo Pytago ta có:
$\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {20^2} + {21^2} = 841\\
\Rightarrow BC = \sqrt {841} = 29\left( {cm} \right)
\end{array}$
b) Theo tính chất đường phân giác ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{20}} = \frac{{CD}}{{21}} = \frac{{BD + CD}}{{20 + 21}} = \frac{{BC}}{{41}} = \frac{{29}}{{41}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = 20.\frac{{29}}{{41}} = \frac{{580}}{{41}}\left( {cm} \right)\\
CD = 21.\frac{{29}}{{41}} = \frac{{609}}{{41}}\left( {cm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
c) Ta có DE// AC; DF// AB và AB vuông góc AC
=> DE ⊥ AB và DF ⊥ AC
Xét tứ giác AEDF có 3 góc vuông tại A,E,F
=> AEDF là hình chữ nhật
Lại có đường chéo AD là phân giác của góc A
=> AEDF là hình vuông.
d) Gọi AE = ED = DF = AF = x (cm)
=> BE = 20-x (cm)
Theo Pytago trong tam giác BED vuông tại E có:
$\begin{array}{l}
B{E^2} + E{D^2} = B{D^2}\\
\Rightarrow {\left( {20 - x} \right)^2} + {x^2} = \frac{{{{580}^2}}}{{{{41}^2}}}\\
\Rightarrow 2{x^2} - 40x + 400 - \frac{{{{580}^2}}}{{{{41}^2}}} = 0\\
\Rightarrow x = \frac{{420}}{{41}}\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow {S_{AEDF}} = {x^2} = 104,93\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
