a,
Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC bằng: SABC=12AB.ACSABC=12AB.AC
AH vuông góc với BC nên diện tích tam giác ABC được tính bằng: SABC=12AH.BCSABC=12AH.BC
Do đó 12AH.BC=SABC=12AB.AC⇔AH.BC=AB.AC12AH.BC=SABC=12AB.AC⇔AH.BC=AB.AC
b,
MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC nên ˆMNA=ˆMPA=90∘MNA^=MPA^=90∘
Tam giác ABC vuông tại A nên tứ giác ANMP có 3 góc vuông là góc A, N, P
Do đó ANMP là hình chữ nhật
c,
Gọi I là giao điểm của NP và AM
ANMP là hình chữ nhật nên I là trung điểm NP và AM và AM=NP
Tam giác AHM vuông tại H có trung tuyến HI nên HI=12AM=12NPHI=12AM=12NP
Tam giác NHP có trung tuyến HI thỏa mãn HI=12NPHI=12NP nên tam giác NHP vuông tại H
Do đó ˆNHP=90∘NHP^=90∘
d,
NP nhỏ nhất mà NP=AM nên AM nhỏ nhất
Ta có: AH là đường cao từ A tới BC nên AM≥AHAM≥AH.
Do đó AM nhỏ nhất khi M trùng H.
