Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHD` có :
`hat{AHB} = hat{AHD} = 90^o`
`AH` chung
`BH = DH` (giả thiết)
`-> ΔAHB = ΔAHD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AB = AD` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔABD` cân tại `A`)
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔAHB` và `ΔEHD` có :
`hat{AHB} = hat{EHD}` (2 góc đối đỉnh)
`BD = DH` (giả thiết)
`AH = EH` (Do `H` là trung điểm của `AE`)
`-> ΔAHB = ΔEHD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{HBA} = hat{HDE}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AB//DE$
Do `ΔAHB = ΔEHD` (chứng minh trên)
`-> AB = DE` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$c,$
Do `ΔABC` vuông tại `A`
`-> AB⊥AC`
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB⊥AC\\AB//DE\end{array} \right.\) (chứng minh trên)
$→ ED⊥AC$
`-> ED` là đường cao của `ΔAEC`
Có : `CH⊥AE`
`-> CH` là đường cao của `ΔAEC`
Xét `ΔAEC` có :
`ED` là đường cao
`CH` là đường cao
`ED` cắt `CH` tại `D`
`-> D` là trực tâm của `ΔAEC`
mà `AD` cắt `EC` tại `K`
`-> AK` là đường cao của `ΔAEC`
`-> AK⊥EC`
hay `AD⊥CE` tại `K`
$\\$
$\\$
$d,$
Có : `ΔABD` cân tại `A` (chứng minh trên)
`hat{B} = 60^o`
`-> ΔABD` đều
`-> hat{BAD} = 60^o`
Có : `hat{BAD} + hat{KAC} = 90^o`
`-> hat{KAC} = 90^o - hat{BAD} = 90^o - 60^o`
`-> hat{KAC} = 30^o`
Có : `hat{KAC} + hat{ECA} = 90^o` (Cùng phụ `hat{AKC}`)
`-> hat{ECA} = 90^o - hat{KAC} = 90^o - 30^o`
`-> hat{ECA} = 60^o`
Có : `hat{B} + hat{BCA} = 90^o` (Cùng phụ `hat{A}`)
`-> hat{BCA} = 90^o - 60^o`
`-> hat{BCE} = 30^o`
Có : `hat{EAC} + hat{BCA} = 90^o` (Cùng phụ `hat{AHC}`)
`-> hat{EAC} = 90^o - hat{BCA} = 90^o - 30^o`
`-> hat{EAC} = 60^o`
Áp dụng tổng 3 góc `Δ` cho `ΔAEC` có :
`hat{ECA} + hat{EAC} + hat{AEC} = 180^o`
`-> hat{AEC} = 180^o - 60^o -60^o`
`-> hat{AEC} = 60^o`
Xét `ΔAEC` có :
`hat{EAC} = 60^o, hat{ECA} = 60^o, hat{AEC} = 60^o`
`-> hat{EAC} =hat{ECA} = hat{AEC} = 60^o`
`-> ΔAEC` đều
Có : `D` là trực tâm của `ΔAEC`
`-> D` là trọng tâm của `ΔAEC`
`-> AD = 2/3 AK`
`-> (AD)/(AK) = 2/3`
