a) Ta có: $HD\perp AB\,(gt)$
$HE\perp AC \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{HDA} = \widehat{HEA} = 90^o$
Xét tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$
Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HED} = \widehat{AHE}\\\widehat{HDE} = \widehat{AHD}\end{cases}$
Xét $ΔHDB$ vuông tại $D$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BH$ $(gt)$
$\Rightarrow MB = MC = MH$
$\Rightarrow ΔMDH$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MDH} = \widehat{MHD}$
Ta được:
$\widehat{MDE} = \widehat{MDH} + \widehat{HDE} = \widehat{MHD} + \widehat{AHD} = \widehat{AHM} = 90^o$
$\Rightarrow MD\perp DE$
Chứng minh tương tự ta được: $NE\perp DE$
Do đó $MDEN$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$
b) Ta có: $ADHE$ la hình chữ nhật (chứng minh ở câu a)
$P = DE \cap AH \, (gt)$
$\Rightarrow PA = PD = PH = PE$
Ta lại có: $QM = QN \, (gt)$
$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của hình thang $MDEN$
$\Rightarrow PQ//MD//DE$
mà $MD\perp DE$
nên $PQ\perp DE$
c) Do $PQ$ là đường trung bình của hình thang $MDEN$
nên $PQ = \dfrac{1}{2}(MD + NE)$
$\Rightarrow 2PQ = MD + NE$
