a/ $D,B,C∈(O)$

$→ΔDBC$ nội tiếp đường tròn $(O)$

mà $BC$ là đường kính đường tròn $(O)$

$→ΔDBC$ vuông tại $D$

$→BD⊥DC$ hay $BD⊥AC$

$→BD$ là đường cao $AC$

$C,E,B∈(O)$

$→ΔCEB$ nội tiếp đường tròn $(O)$

mà $BC$ là đường kính đường tròn $(O)$

$→ΔCEB$ vuông tại $E$

$→CE⊥EB$ hay $CE⊥AB$

$→CE$ là đường cao $AB$

Xét $ΔABC$:

$BD,CE$ là đường cao $AC,AB$

mà $BD∩CE≡H$

$→H$ là trực tâm $ΔABC$

$→AH$ hay $AF$ là đường cao $BC$ hay $AF⊥BC$

Xét $HEA$ và $ΔHFC$:

$\widehat{HEA}=\widehat{HFC}(=90^\circ)$

$\widehat{EHA}=\widehat{FHC}$ (đối đỉnh)

$→ΔHEA\backsim ΔHFC(g-g)$

$→\dfrac{HE}{HA}=\dfrac{HF}{HC}$

$↔\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HA}{HC}$

Xét $ΔHFE$ và $ΔHCA$:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HA}{HC}(cmt)$

$\widehat{FHE}=\widehat{CHA}$ (đối đỉnh)

$→ΔHFE\backsim ΔHCA(c-g-c)$

$→\widehat{HEF}=\widehat{HAC}$ hay $\widehat{HEF}=\widehat{FAC}$

Ta có: $\widehat{FAC},\widehat{DBC}$ cùng phụ $\widehat C$

$→\widehat{FAC}=\widehat{DBC}$ hay $\widehat{HEF}=\widehat{DBC}$

$→\widehat{HEF}=\widehat{HBF}$

b/ Xét $ΔBFA$ và $ΔBEC$:

$\widehat B:chung$

$\widehat{BFA}=\widehat{BEC}(=90^\circ)$

$→ΔBFA\backsim ΔBEC(g-g)$

$→\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BE}{BC}$

$↔\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BA}{BC}$

Xét $ΔBEF$ và $ΔBCA$:

$\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BA}{BC}(cmt)$

$\widehat B:chung$

$→ΔBEF\backsim ΔBCA(c-g-c)$

$→\widehat{BEF}=\widehat{BCA}$ (1)

Xét $ΔADB$ và $ΔAEC$:

$\widehat A:chung$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^\circ)$

$→ΔADB\backsim ΔAEC(g-g)$

$→\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

$↔\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$

Xét $ΔAED$ và $ΔACB$:

$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}(cmt)$

$\widehat A:chung$

$→ΔAED\backsim ΔACB(c-g-c)$

$→\widehat{AED}=\widehat{ACB}$ (2)

(1)(2) $→\widehat{BEF}=\widehat{AED}$

mà $\widehat{BEF}+\widehat{FEH}=\widehat{AED}+\widehat{DEH}=90^\circ$

$→\widehat{FEH}=\widehat{DEH}$ hay $\widehat{FEC}=\widehat{HED}$

Ta có: $\widehat{EDB},\widehat{ECB}$ là hai góc nội tiếp chắn cung $EB$ nhỏ

$→\widehat{EDB}=\widehat{ECB}$ hay $\widehat{HDE}=\widehat{FCE}$

Xét $ΔHED$ và $ΔFEC$:

$\widehat{HED}=\widehat{FEC}(cmt)$

$\widehat{HDE}=\widehat{FCE}(cmt)$

$→ΔHED\backsim ΔFEC(g-g)$

$→\dfrac{ED}{EH}=\dfrac{EC}{EF}$

$↔ED.EF=EH.EC$

c/ Xét $ΔCJD$ và $ΔCDB$:

$\widehat C:chung$

$\widehat{CJD}=\widehat{CDB}(=90^\circ)$

$→ΔCJD\backsim ΔCDB(g-g)$

$→\dfrac{CJ}{CD}=\dfrac{CD}{CB}$

$↔CD^2=CJ.CB$

Xét $ΔCJI$ và $ΔCEB$:

$\widehat C:chung$

$\widehat{CJI}=\widehat{CEB}(=90^\circ)$

$→ΔCJI\backsim ΔCEB(g-g)$

$→\dfrac{CJ}{CI}=\dfrac{CE}{CB}$

$↔CJ.CB=CI.CE$ mà $CJ.CB=CD^2$

$→CD^2=CJ.CB=CI.CE$

Kẻ đường cao $EG$ ứng $BC$

$→EG⊥BC$ mà $JM⊥BC(DM⊥BC≡J)$

$→EG//JM$

$→\widehat{FEG}=\widehat{FMJ}$ (so le trong)

Xét $ΔFEG$ và $ΔFMJ$:

$\widehat{FEG}=\widehat{FMJ}(cmt)$

$\widehat{FGE}=\widehat{FJM}(=90^\circ)$

$→ΔFEG\backsim ΔFMJ(g-g)$

$→\widehat{EFG}=\widehat{MFJ}$ hay $\widehat{EFB}=\widehat{CFM}$

mà 2 góc ở vị trí đối đỉnh

$→E,F,M$ thẳng hàng