$a)^{}$ Xét $ΔIMD^{}$ và $ΔIAB^{}$ có góc $I_{1}$$=_{}$góc $I_{2}$ ($2_{}$ góc đối đỉnh)
góc $IMD=_{}$ góc $IAB_{}$ ($2_{}$ góc so le trong)
$⇒_{}$ $ΔIMD^{}$ ~ $ΔIAB^{}$ (g-g)
$⇒_{}$ $\frac{IM}{IA}$ $=^{}$ $\frac{MD}{AB}$ $(1)^{}$
Xét $ΔKMC_{}$ và $ΔKBA_{}$ có góc $K_{1}$$=_{}$góc $K_{2}$ ($2_{}$ góc đối đỉnh)
góc $KCM=_{}$ góc $KAB_{}$ ($2_{}$ góc so le trong)
$⇒_{}$ $ΔKMC^{}$ ~ $ΔKBA^{}$ (g-g)
$⇒_{}$ $\frac{KM}{KB}$ $=^{}$ $\frac{MC}{AB}$ $(2)^{}$
Mà $MC=MD^{}$ (do $M^{}$ là trung điểm của $CD^{}$) $(3)^{}$
Từ $(1)^{}$,$(2)^{}$,$(3)^{}$$⇒^{}$ $\frac{IM}{IA}$ $=^{}$$\frac{KM}{KB}$
$⇒IK//AB^{}$ (theo định lí Ta-lét đảo)
$b)^{}$ Vì $AB//CD^{}$ mà $IK//AB^{}$ $⇒IK//CD^{}$ $⇒EI//DM^{}$
Theo hệ quả của định lí Ta-lét $⇒\frac{AI}{AM}=\frac{EI}{DM}^{}$ $(*)^{}$
Lại có $IK//MC⇒\frac{AI}{AM}=\frac{KI}{MC}^{}$ $(4)^{}$
Tương tự ta có $\frac{BK}{BM}=\frac{KF}{MC}^{}$ $(**)^{}$ và $\frac{BK}{BM}=\frac{KI}{MD}^{}$ $(5)^{}$
Từ $(3)^{}$$⇒\frac{IK}{MC}=\frac{IK}{MD}^{}$ $(6)^{}$
Từ $(4)^{}$,$(5)^{}$,$(6)^{}$$⇒\frac{AI}{AM}=\frac{BK}{BM}^{}$ $(7)^{}$
Từ $(*)^{}$,$(4)^{}$,$(**)^{}$ và $(7)^{}$$⇒^{}$$\frac{EI}{DM}$ $=^{}$$\frac{KF}{MC}$ $=^{}$$\frac{KI}{MC}$ $(8)^{}$
Từ $(3)^{}$ và $(8)^{}$ $⇒^{}$ $EI=^{}$$IK=^{}$$KF^{}$
