Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BD\perp AC, CE\perp AB, BD\cap CE=H$
$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC$
Mà $HK\perp BC$
$\to A, H, K$ thẳng hàng
Xét $\Delta AEH,\Delta ABK$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AEH}=\widehat{AKB}(=90^o)$
$\to\Delta AEH\sim\Delta AKB(g.g)$
$\to \dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AH}{AB}$
$\to AE.AB=AH.AK$
Tương tự $AD.AC=AH.AK$
$\to AE.AB=AD.AC$
b.Xét $\Delta ADE,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat A$
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ vì $AE.AB=AD.AC$
$\to \Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$
$\to \widehat{AED}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{QEB}=\widehat{AED}=\widehat{ACB}=\widehat{QCD}$
Mà $\widehat{EQB}=\widehat{DQC}$
$\to\Delta QBE\sim\Delta QDC(g.g)$
$\to \dfrac{QB}{QD}=\dfrac{QE}{QC}$
$\to QB.QC=QE.QD$
c.Xét $\Delta AEK,\Delta ABH$ có:
Chung $\hat A$
$\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AH}{AB}$ vì $AE.AB=AH.AK$
$\to\Delta AKE\sim\Delta ABH(c.g.c)$
$\to \widehat{AKE}=\widehat{ABH}$
Tương tự chứng minh được $\widehat{ACH}=\widehat{AKD}$
Mà $\widehat{ACH}=\widehat{DCH}=90^o-\widehat{DHC}=90^o-\widehat{EHB}=\widehat{EBH}=\widehat{ABH}$
$\to \widehat{AKD}=\widehat{AKE}$
$\to KA$ là phân giác $\widehat{DKE}$
$\to KP$ là phân giác $\widehat{DKE}$
Mà $KQ\perp KP\to KQ$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $K$ của $\Delta KDE$
$\to \dfrac{PD}{PE}=\dfrac{QD}{QE}$
$\to PD\cdot QE=PE\cdot QD$
$\to đpcm$
