Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét tam giác \(ADC\), theo hệ quả định lý Talet ta có \(\dfrac{{MQ}}{{CD}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}\)
Tương tự ta có \(\dfrac{{MP}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{AC}}\)
Suy ra \(\dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MP}}{{AB}} = \dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MC}}{{CD}} = \dfrac{{MQ + MC}}{{CD}} = \dfrac{{CD}}{{CD}} = 1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
${\left( {\dfrac{{MQ}}{{CD}} + \dfrac{{MP}}{{AB}}} \right)^2} \le \left( {M{Q^2} + M{P^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}} \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 \le \left( {M{Q^2} + M{P^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{M{Q^2} + M{P^2}}} \le \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}\end{array}$
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{{MP}}{{MQ}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\)
