Đáp án:

Giải thích các bước giải:

IV)

a) $∠AMD = ∠AND = 90^{0} ⇒ A;M;D;N$ thuộc

đường tròn đường kính $AD$

b) $∠BEC = ∠BFC = 90^{0} $

$ ⇒ ∠DBP = ∠CBE = ∠CFE = ∠DMP $

( góc có cạnh tương ứng song song $FE//MP; FC//MD)$

$ ⇒ BMDP nt (đpcm) ⇒ ∠BPD = ∠BMD = 90^{0}$

$ ⇒ DPEN$ là hcn ( vì có 3 góc vuông) (đpcm)

c) $DP∩EF = Q $

$ DPEN$ là hcn $ ⇒  DP//EN ⇒ PQ//EN (2)$

Mà $HF//DB ; HE//DN $

$ ⇒ \dfrac{AF}{AM} = \dfrac{AH}{AD} =\dfrac{AE}{AN} ⇒ FE//MN (2)$

$(1); (2) ⇒ ENPQ $ là hbh $⇒ PQ = EN = DP$

$ ⇒ P$ là trung điểm $DQ$ mà $GP//FQ$

$ ⇒ G$ là trung điểm $SD (đpcm)$ 

Gọi $J = DL∩AG $

$ AD = AK (gt); GD = GS ⇒ AG//KS ⇒ JD = JL$

$ ⇒ AG⊥DL ⇒ ∠AJD = 90^{0} $

$ ⇒ 5$ điểm $A; J; M; D; N$ thuộc đương tròn đk $AD$

$ ⇒ GJ.GA = GM.GN (3)$

Mặt khác $: BMPD nt ⇒ ∠FMP = ∠ BDP = ∠BCN $ (đồng vị)

$ ⇒ BMNC nt ⇒ BG.GC = GM.GM (4)$

$(3); (4) ⇒ GJ.GA = GB.GC ⇒ AJBC nt ⇔ J ∈ (O) (đpcm)$

V)

Từ GT $:a³ + b³ = a^{5} + b^{5} (*)$

- Nếu $ a; b < 1 ⇒ a³ + b³ > a^{5} + b^{5}$ ko thỏa mãn $(*)$

- Nếu $ a; b > 1 ⇒ a³ + b³ < a^{5} + b^{5}$ ko thỏa mãn $(*)$

Không mất tính tổng quát giả sử $ 0 < a ≤ 1 ≤ b$

$ ⇒ a² - 1 ≤ 0; b² - 1 ≥ 0 ⇒ (a² - 1)(b² - 1) ≤ 0$

$ ⇔ a²b² - a² - b² + 1 ≤ 0 ⇔ a²b² ≤ a² + b² - 1 (**)$

$ (*) ⇔ a³ + b³ = (a² + b²)(a³ + b³) - a²b²(a + b)$

$ ⇔ (a² + b² - 1)(a³ + b³) = a²b²(a + b)$

$ ⇔ (a² + b² - 1)(a² - ab + b²) = a²b²$

$ ⇒ P = a² - ab + b² = \dfrac{a²b²}{a² + b² - 1} ≤ 1$ (theo $(**)$)

Dấu $'=' ⇔ a²b² = a² + b² - 1 ⇔ (a² - 1)(b² - 1) = 0 $

- Nếu $a = 1 $ thay vào $(*) ⇒ b³ = b^{5} ⇒ b = 1$

- Nếu $b = 1 $ thay vào $(*) ⇒ a³ = a^{5} ⇒ a = 1$

Vậy $GTLN$ của $P = 1 ⇔ a = b = 1$

Do ĐKXĐ $: x + 3 ≥ 0; y ≥ 0; (x - y)² + 4(2x - y) + 15 ≥ 0$

Biến đổi PT thứ nhất:

$\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} - \sqrt{y} = \sqrt{x + 3} $

$ ⇔(\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} - 2\sqrt{y}) - (\sqrt{x + 3} - \sqrt{y}) = 0$

$ ⇒ \dfrac{(x - y)² + 4(2x - y) + 15 - 4y}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x + 3 - y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x - y)² + 8(x - y) + 15}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x + 3 - y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x - y + 3)(x - y + 5)}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x + 3 - y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

$ ⇔ (x - y + 3)(\dfrac{x - y + 5}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}}) = 0$

TH1 $: x + 3 - y = 0 ⇔ y = x + 3$ thay vào PT thứ hai:

$ \sqrt{x² + 2x + 13} + \sqrt[3]{x} = 5 $

$ ⇔ \sqrt{x² + 2x + 13} - 4 + \sqrt[3]{x} - 1 = 0 $

$ ⇔ \dfrac{(x² + 2x + 13) - 16}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{x - 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{x - 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$

$ ⇔ (x - 1)\dfrac{x + 3}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} +  \dfrac{1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1}) = 0$

$ ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = x + 3 = 4 (TM)$

TH2 $: \dfrac{x - y + 5}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0 (*)$

Thay $\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} = \sqrt{x + 3} + \sqrt{y} $ vào

$ (*) ⇔ \dfrac{x - y + 5}{\sqrt{x + 3} + 3\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$

Đặt $ a = \sqrt{x + 3} ≥0; b = \sqrt{y} ≥ 0$

$ \dfrac{a² - b² + 2}{a + 3b} - \dfrac{1}{a + b} = 0$

$ ⇔ (a + b)(a² - b²) + 2(a + b) - (a + 3b) = 0$

$ ⇔ (a - b)(a + b)² + (a - b) = 0$

$ ⇔ (a - b)[(a + b)² + 1] = 0$

$ ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b ⇔ \sqrt{x + 3} = \sqrt{y}$

KL : Hệ có nghiệm duy nhất $ (x; y) = (1; 4)$