Bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\ge 2\sqrt{3}\)có tập nghiệm là \(\left[ a;b \right].\) Hỏi tổng \(a+b\) có giá trị là bao nhiêu? A.5 B.-2 C.4 D.3
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 16} \right) \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\) Tập xác định: \(D=\left[ -2;4 \right]\) Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\)\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{6{{x}^{2}}+6x+6}{\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}}+\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}>0\) Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định Ta nhận thấy phương trình \(f\left( 1 \right)=2\sqrt{3}\Rightarrow f\left( x \right)\ge f\left( 1 \right)=2\sqrt{3},\forall x\in \left[ 1;4 \right]\). Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ 1;4 \right]\). Do đó tổng a + b = 5. Đáp án là A