Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a^2;b^2;c^2$ luôn có 2 số cùng phía so với $\dfrac{1}{2}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a^2;b^2$
$⇒\left(a^2-\dfrac{1}{2} \right)\left(b^2-\dfrac{1}{2} \right) \geq 0$
$⇒a^2b^2+\dfrac{1}{4} \geq \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}$
$⇒a^2b^2+a^2+b^2+1 \geq \dfrac{3a^2}{2}+\dfrac{3b^2}{2}+\dfrac{3}{4}$
$⇒a^2b^2+a^2+b^2+1 \geq \dfrac{3}{4}\left(2a^2+2b^2+1 \right)$
Do đó:
$VT=(a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2+1)$
$⇒VT \geq \dfrac{3}{4}\left(2a^2+2b^2+1 \right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+c^2 \right)$
$⇒VT \geq \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=±\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
