Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x\) và \(F\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right)\) bằng A.\(\dfrac{1}{3}.\) B.\(1\) C..\(\dfrac{1}{2}.\) D.\(\dfrac{1}{6}.\)
Phương pháp giải: - Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n e - 1} \right)\) để tìm \(F\left( x \right).\) - Sử dụng giả thiết \(F\left( 1 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\). - Suy ra hàm số \(F\left( x \right)\) hoàn chỉnh và tính \(F\left( { - 1} \right)\). Giải chi tiết:Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + x} \right)dx} } \)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C\) Mà \(F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{6}.\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{6}.\) Vậy \(F\left( { - 1} \right) = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.\) Chọn A.