Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx = \frac{a}{4} - 4\ln \frac{4}{b}} ,\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằngA.\(25.\)B.\(41.\)C.\(20.\)D.\(34.\)

kietphan307

2 năm trước

Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx = \frac{a}{4} - 4\ln \frac{4}{b}} ,\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng
A.\(25.\)
B.\(41.\)
C.\(20.\)
D.\(34.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 14 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

namphong16611

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = \left. x \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = 1 - J\)
Với \(J = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 12 - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{4}{{x + 3}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = 4.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 3}}} - 3.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \)
\( = 4\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} - 3.\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \) \( = \left. {\left( {4\ln \left| {x + 3} \right| + \frac{3}{{x + 3}}} \right)} \right|_0^1\) \( = 4\ln 4 + \frac{3}{4} - 4\ln 3 - 1 = 4\ln \frac{4}{3} - \frac{1}{4}\)
Do đó \(I = 1 - J = 1 - \left( {4\ln \frac{4}{3} - \frac{1}{4}} \right) = \frac{5}{4} - 4\ln \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow a = 5,b = 3\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {5^2} + {3^2} = 34\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2.\) Giá trị của biểu thức \(F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng
A.\(3\ln 2 + 2.\)
B.\(\ln 2 + 2.\)
C.\(\ln 2 + 1.\)
D.\(2\ln 2 + 1.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 3m{x^2} + \left( {4m + 4} \right)x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
A.\(4036.\)
B.\(2017.\)
C.\(2018.\)
D.\(4034.\)

Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\frac{{3 - x}}{{2x}}\) là
A.\((3; + \infty ).\)
B.\((0;3].\)
C.\(( - \infty ;0) \cup (3; + \infty ).\)
D.\((0;3).\)

Cho hình nón có bán kính đáy \(r = 4\) và diện tích xung quanh bằng \(20\pi .\) Thể tích của khối nón đã cho bằng
A.\(4\pi .\)
B.\(16\pi .\)
C.\(\frac{{16}}{3}\pi .\)
D.\(\frac{{80}}{3}\pi .\)

Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng chứa trục \(Ox\) và đi qua điểm \(A(1;1; - 1)\) có phương trình là
A.\(z + 1 = 0.\)
B.\(x - y = 0.\)
C.\(x + z = 0.\)
D.\(y + z = 0.\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {4x + 7} \right)\) có một nguyên hàm là
A.\( - \sin \left( {4x + 7} \right) + x.\)
B.\(\frac{1}{4}\sin \left( {4x + 7} \right) - 3.\)
C.\(\sin \left( {4x + 7} \right) - 1.\)
D.\( - \frac{1}{4}\sin \left( {4x + 7} \right) + 3.\)

Gọi \(M;m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{4}{x} + x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;\,3} \right].\) Tính \(M - m.\)
A.\(4.\)
B.\(9.\)
C.\(1.\)
D.\(5.\)

Cho \(a\) là số thực dương tùy ý khác 3, giá trị của \({\log _{\frac{a}{3}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{9}} \right)\) bằng
A.\(\frac{1}{2}.\)
B.\( - \frac{1}{2}.\)
C.\(2.\)
D.\( - 2.\)

Hàm số \(y = \frac{{x - 7}}{{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng
A.\(\left( { - 5;1} \right).\)
B.\(( 1 ; 4 ).\)
C.\(( - \infty ; + \infty ).\)
D.\(\left( { - 6;0} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz,\)cho vectơ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow j - 2\overrightarrow k .\) Tọa độ điểm \(A\) là
A.\((0;1; - 2).\)
B.\((1; - 2;0).\)
C.\((1;0; - 2).\)
D.\((0; - 1;2).\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến