Giải thích các bước giải:
b) Ta có:
$\widehat {AMB} = \widehat {AEB} = {90^0}$
$\to BM\bot AC;AE\bot BC=E$ mà $AE\cap BM=D$
$\to D$ là trực tâm của tam giác $ACB$
$\to CD\bot AB=H$
a) Ta có:
$\widehat {AMD} + \widehat {AHD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\to$ Tứ giác $AMDH$ nội tiếp.
Lại có:
$\widehat {BHD} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0}$
$\to $ Tứ giác $BEDH$ nội tiếp.
c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$
Ta sẽ chứng minh:
$IM,IE$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M,E$
Lại có:
$I$ là trung điểm của cạnh huyền của tam giác $CMD$
$\to IM=ID$
$ \Rightarrow \Delta IMD$ cân ở $I$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {IDM}\\
\Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {MAH}\left( 1 \right)
\end{array}$
Mặt khác:
$O$ là trung điểm của cạnh huyền của tam giác $AMB$
$\to OM=OB$
$\to \Delta OMB$ cân ở $O$
$ \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {OBM}\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IMD} + \widehat {OMB} = \widehat {MAH} + \widehat {OBM}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {OMI} = {90^0}\\
\Rightarrow OM \bot IM = M
\end{array}$
$\to IM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$
Hoàn toàn tương tự: $IE$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $E$
$\to $ Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M,E$ cắt nhau tại $I$ là một điểm nằm trên $CD$
d) Ta có:
$AMEB$ là tứ giác nội tiếp
$ \Rightarrow \widehat {DME} = \widehat {DAB} \Rightarrow \widehat {DME} = \widehat {DAH}$
Mà $AMDH$ là tứ giác nội tiếp
$ \Rightarrow \widehat {DMH} = \widehat {DAH}$
$ \Rightarrow \widehat {DMH} = \widehat {DME}$
$\to $ Tứ giác $MD$ là phân giác $\widehat {HME}$
Tương tự với các đường $ED,HD$ lần lượt là phân giác của $\widehat{HEM};\widehat{MHE}$
$\to MD,ED,HD$ lần lượt là phân giác của $\widehat {HME};\widehat{HEM};\widehat{MHE}$ và giao nhau tại $D$
$\to D$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MHE$
