Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cách `1`
Chứng minh BĐT phụ
`a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) (b_1,b_2>0)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)/(b_1b_2)>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)(b_1+b_2)>=(a_1+a_2)^2 b_1b_2`
`<=>a_1^2 b_2^2 +a_2^2+b_1^2 +a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 >=a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 +2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 +(a_2b_1)^2>=2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 -2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2>=0`
`<=>(a_1b_2-a_2b_1)^2>=0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2`
`=>a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2+a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) +a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2+a_3)^2/(b_1+b_2+b_3)`
`ĐK:b_1,b_2,b_3>0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3`
Áp dụng: Do `a,b,c>0`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[(b+c)+(c+a)+(a+b)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[2(a+b+c)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Cách `2`
Do `a,b,c>0` ,Áp dụng BĐT Co-si
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2\sqrt{a^2/(b+c) .(b+c)/4} `
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2 . a/2`
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=a`
Tương tự
`b^2/(c+a) +(c+a)/4 >=b; c^2/(a+b) +(a+b)/4 >=c`
`=>a^2/(b+c) +(b+c)/4 +b^2/(c+a) +(c+a)/4 + c^2/(a+b) +(a+b)/4>=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b) +(a+b+c)/2 >=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
