a/ \(CN//Ox\) hay \(CN//OM\)

\(→\widehat{OCN}=\widehat{COM}\) (so le trong)

\(CM//Oy\) mà \(Oy⊥Ox\)

\(→CM⊥Ox\) hay \(CM⊥OA\)

\(CN//Ox\) mà \(Ox⊥Oy\)

\(→CN⊥Oy\) hay \(CN⊥OB\)

Xét \(ΔOCN\) và \(ΔCOM\):

\(OC:chung\)

\(\widehat{OCN}=\widehat{COM}(cmt)\)

\(\widehat{CNO}=\widehat{OMC}(=90^\circ)\)

\(→ΔOCN=ΔCOM(CH-GN)\)

\(→ON=CM\) (2 cạnh tương ứng)

b/ \(CN//Ox\) hay \(CM//MA\)

\(→\widehat{NCB}=\widehat{MAC}\) (đồng vị)

\(ΔOCN=ΔOCM→MO=NC\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(MO=MA\)

\(→NC=MA\)

Xét \(ΔNCB\) và \(ΔMAC\):

\(\widehat{NCB}=\widehat{MAC}(cmt)\)

\(MA=NC(cmt)\)

\(\widehat{CNB}=\widehat{AMC}(=90^\circ)\)

\(→ΔNCB=ΔMAC(g-c-g)\)

\(→CA=BC\) (2 cạnh tương ứng)

c/ \(CM⊥OA\) nên \(CM\) là đường cao \(OA\) 

\(M\) là trung điểm \(OA\) ( \(MO=MA\) ) nên \(CM\) là đường trung tuyến \(OA\) 

Xét \(ΔOCA\):

\(CM\) là đường cao, là đường trung tuyến \(OA\)

\(→ΔOCA\) cân tại \(C\)

\(→CA=CO\) mà \(CA=CB\)

\(→CO=CB\)

\(→ΔCOB\) cân tại \(C\) mà \(CN\) là đường cao \(OB\) (\(CN⊥OB\) )

\(→CN\) là đường phân giác \(\widehat{OCB}\) 

\(→\widehat{OCN}=\widehat{BCN}\) (1)

\(ΔOCA\) cân tại \(C\) mà \(CM\) là đường cao \(OA\)

\(→CM\) là đường phân giác \(\widehat{OCA}\)

\(→\widehat{OCM}=\widehat{ACM}\) (2)

\(CM//ON→\widehat{OCM}=\widehat{CON}\) (so le trong) (3)

\(CN//OM→\widehat{OCN}=\widehat{COM}\) (so le trong) (4)

(1)(2)(3)(4) \(→\begin{cases}\widehat{OCN}=\widehat{BCN}=\widehat{COM}\\\widehat{OCM}=\widehat{ACM}=\widehat{CON}\end{cases}\)

\(→\widehat{BCN}+\widehat{OCN}+\widehat{OCM}+\widehat{ACM}\\=2\widehat{BCN}+2\widehat{ACM}\\=2(\widehat{BCN}+\widehat{ACM})\\=2(\widehat{COM}+\widehat{CON})\\=2\widehat O\\2.90^\circ=180^\circ\)

\(→A,B,C\) thẳng hàng

Đáp án:

`a,`

vÌ $MC//Oy$

`-> hat{OCM} = hat{CON}` (2 góc so le trong)

Vì $NC//Ox$

`-> hat{NCO} = hat{COM}` (2 góc so le trong)

$\\$

Xét `ΔONC` và `ΔCMO` có : 

`OC` chung

`hat{OCM} = hat{CON}` (chứng minh trên)

`hat{NCO} = hat{COM}` (chứng minh trên)

`-> ΔONC = ΔCMO` (góc - cạnh - góc)

`-> CM = ON` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì $CN//Ox$

mà `Ox⊥Oy`

`-> CN⊥Oy`

hay `CN` là đường cao

Xét `ΔOBC` có :

`CN` là đường cao

`CN` là đường trung tuyến

`-> ΔOBC` cân tại `C`

`-> CB = CO` `(1)`

$\\$

Vì $CM//Oy$

mà `Oy⊥Ox`

`-> CM⊥Ox`

hay `CM` là đường cao

Xét `ΔOAC` có :

`CM` là đường cao

`CM` là đường trung tuyến

`-> ΔOAC` cân tại `C`

`-> CA = CO` `(2)`

$\\$

Từ `(1)` và `(2)`

`-> CA = CB (= OC)`

$\\$

$\\$

$c,$

Có : $NC//Ox$

mà `CM⊥Ox`

`-> NC⊥OM`

`-> hat{NCM} = 90^o`

`-> hat{NCO} + hat{MCO} = 90^o`

$\\$

Vì `ΔOBC` cân tại `C`

mà `CN` là đường cao

`-> CN` là đường phân giác

`-> hat{NCO} = 1/2 hat{BCO}`

`-> hat{BCO} = 2 hat{NCO}`

$\\$

Vì `ΔOAC` cân tại `C`

mà `CM` là đường cao

`-> CM` là đường phân giác

`-> hat{MCO} = 1/2 hat{ACO}`

`-> hat{ACO} = 2 hat{MCO}`

$\\$

Ta có : `hat{ACB} = hat{BCO} + hat{ACO}`

`-> hat{ACB} = 2 hat{NCO} + 2 hat{MCO}`

`-> hat{ACB} = 2 (hat{NCO} + hat{MCO})`

`-> hat{ACB} = 2 . 90^o`

`-> hat{ACB} = 180^o`

`-> hat{ACB}` là góc bẹt

`-> A,C,B` thẳng hàng