a) Từ $A$ hạ đường cao $AH\perp BC$
Tù $G$ kẻ $GK\perp BC$
$\to AH//GK\quad (\perp BC)$
Theo tính chất trọng tâm, ta có:
$AG = \dfrac{2}{3}AM$
$\to GM = \dfrac{1}{3}AM$
$\to \dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{GM}{AM} = \dfrac{GK}{AH} = \dfrac{1}{3}$
$\to \dfrac{\dfrac{1}{2}GK.BC}{\dfrac{1}{2}AH.BC} = \dfrac{1}{3}$
$\to \dfrac{S_{GBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}$
Bằng cách vẽ các đường cao từ các đỉnh và đường vuông góc từ $G$ như trên, ta được:
$\dfrac{S_{AGB}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{S_{AGC}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}$
Do đó:
$\dfrac{S_{GBC}}{S_{ABC}} =\dfrac{S_{AGB}}{S_{ABC}} =\dfrac{S_{AGC}}{S_{ABC}}$
$\to S_{GAB} = S_{GAC} = S_{GBC}$
b) Theo tính chất trọng tâm, ta có:
$\begin{cases}\dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{GN}{GB} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{GP}{GC} = \dfrac{1}{3}\end{cases}$
$\to \begin{cases}\dfrac{AM}{GM} = 3\\\dfrac{BN}{GN} = 3\\\dfrac{CP}{GP} = 3\end{cases}$
$\to \dfrac{AM}{GM}+\dfrac{BN}{GN} +\dfrac{CP}{GP} = 3 + 3+ 3 =9$
