Vì $x,y$ nguyên dương nên $(x+y)^3>(x+y)^2$. Kết hợp với phương trình ban đầu ta được:
$\begin{array}{l} {\left( {x - y + 6} \right)^2} > {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y - 6} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 6 - x - y} \right)\left( {x - y - 6 + x + y} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( { - 6 - 2y} \right)\left( {2x - 6} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {x - 3} \right) < 0\\ \Leftrightarrow x < 3\left( {y + 3 > 0\forall y \in Z,y > 0} \right)\\ \Rightarrow x = \left\{ {1;2} \right\} \end{array}$
$x=1$ thay vào phương trình:
$\begin{array}{l} {\left( {1 + y} \right)^3} = {\left( {1 - y - 6} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1 = {y^2} + 10y + 25\\ \Leftrightarrow {y^3} + 2{y^2} - 7y - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right)\left( {{y^2} + 5y + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 3 \in \mathbb{Z} + \end{array}$
$x=2$ thay vào phương trình:
$\begin{array}{l} {\left( {2 + y} \right)^3} = {\left( {2 - y - 6} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8 = {y^2} + 8y + 16\\ \Leftrightarrow {y^3} + 5{y^2} + 4y - 8 = 0\\ \left( {y = 0 \to - 8 < 0,y > 0 \Rightarrow y = 1\left( {y \in Z} \right) \Rightarrow {y^3} + 5{y^2} + 4y - 8 = 2 > 0} \right) \end{array}$
Vậy với $x=2$ thì không có nghiệm nguyên dương y thỏa mãn.
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$
