a, $S=5+5^2+...+5^{2012}$
$⇒S=(5+5^2+5^3+5^4)+...+4^{2008}.(5+5^2+5^3+5^4)$
$⇒S=780+...+5^{2008}.780$
$⇒S=780.(1+...+5^{2008})$
$⇒S=12.65.(1+...+5^{2008})\vdots 65$
b, GỌi số cần tìm là: a
Ta có: a:1 dư 6⇒a+5$\vdots$11⇒a+5+22=a+27$\vdots$11
a:4 dư 1⇒a+3$\vdots$4⇒a+3+24$\vdots$4
a:19 dư 11⇒a+8$\vdots$19⇒a+27$\vdots$19
⇒a+27$\vdots$11;4;19
mà a+27 nhỏ nhất⇒a+27∈BCNN(11;4;19)=11.4.19=836
⇒a=809
Vậy số cần tìm là: 809