Đáp án:
$1)\\a)38880\\b)60\\c)720\\2)\\a)42\\b)216\\C_{12}^6.6!.C_{7}^7.7!$
Giải thích các bước giải:
$1)$
$a)$Gọi số có $6 $ chữ số đó là $\overline{abcdef}$
$a$ có $5$ cách chọn(trừ số $0)$
$b,c,d,e,f$ mỗi số có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số lập được: $5.6^5=38880$
$b)$Gọi số lẻ có $3$ chữ số đó là $\overline{abc}$
$c$ có $2$ cách chọn( $1$ hoặc $7$)
$a$ có $5$ cách chọn(trừ số $0$)
$b$ có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số lập được: $2.5.6=60$
$c)$Gọi số chẵn có $4$ chữ số đó là $\overline{abcd}$
$d$ có $4$ cách chọn( $0;2;4$ hoặc $8$)
$a$ có $5$ cách chọn(trừ số $0$)
$b,c$ mỗi số có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số lập được: $4.5.6^2=720$
$2)$
$a)$Số tự nhiên bé hơn $100$
$\Rightarrow $Gồm số có $2$ chữ số và số có $1$ chữ số:
Số số có $1$ chữ số lập được: $6$
Mỗi một chữ số trong số có $2$ chữ số lập được đều có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số có $2$ chữ số lập được: $6^2=36$
Vậy số số tự nhiên bé hơn $100$ lập được: $36+6=42$
$b)$Số tự nhiên bé hơn $1000$
$\Rightarrow $Gồm số có $3$ chữ số; $2$ chữ số và số có $1$ chữ số:
Số số có $1$ chữ số lập được: $6$
Mỗi một chữ số trong số có $2$ chữ số lập được đều có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số có $2$ chữ số lập được: $6^2=36$
Mỗi một chữ số trong số có $3$ chữ số lập được đều có $6$ cách chọn
$\Rightarrow $Số số có $3 $ chữ số lập được: $6^3=216$
Vậy số số tự nhiên bé hơn $1000$ lập được: $6+36+216=258$
$3)$
$(LT)* * * * * * (A )* * * * * * *$
Chọn $6$ trong $13$ người còn lại và sắp xếp vào $6$ vị trí đầu tiên giữa lớp trưởng và A có: $C_{12}^6.6!$ cách.
Chọn $7$ trong $7$ người còn lại và sắp xếp vào $7$ vị trí sau A có: $C_{7}^7.7!$ cách.
Số cách xếp: $C_{12}^6.6!.C_{7}^7.7!$
