Đáp án:
53) $V_{nón} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{14}}{12}$
54) $V_{nón} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{14}}{24}$
Giải thích các bước giải:
53) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ABCD$, bán kính $OA$
Ta có:
$+) \quad ABCD$ hình vuông cạnh $a$
$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
$\Rightarrow S_{(O;OA)} = \pi\cdot\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{2}$
$+) \quad SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)
$\Rightarrow SO\perp OA$
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$
Ta được:
$V_{nón} = \dfrac{1}{3}S_{(O;OA)}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\pi}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{14}}{2} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{14}}{12}$
54) $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp $ABCD$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow OI\perp AB$
$\Rightarrow OI$ là bán kính đường tròn nội tiếp $ABCD$
Ta có:
$IA = IB = IO = \dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow S_{(O;OI)} = \pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{4}$
Ta được:
$V_{nón} = \dfrac{1}{3}S_{(O;OI)}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\pi}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{14}}{2} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{14}}{24}$
