Đáp án:
Câu 1:
a) \(y = 1\).
b) \(4x - y - 7 = 0\).
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
a) Gọi \(N = {d_1} \cap {d_2} \Rightarrow \) Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow N\left( {0;1} \right)\).
Mà \(M\left( {2;1} \right)\) nên phương trình đường thẳng MN là \(y = 1\).
b) Gọi \(A\left( {a;a + 1} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {b; - 2b + 1} \right) \in {d_2}\).
M là trung điểm của AB.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\a + 1 - 2b + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{8}{3}\\b = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {\dfrac{8}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right),\,\,B\left( {\dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{{16}}{3}} \right)//\left( {1;4} \right)\)
\( \Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow n \left( {4; - 1} \right)\) là 1 VTPT.
Vậy phương trình đường thẳng d là
\(4\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7 = 0\).
Câu 2:
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - \sqrt {2019} }}{a}\).
\( \Rightarrow \Delta \cap Ox = A\left( {\dfrac{{ - \sqrt {2019} }}{a};0} \right)\), \(OA = \dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\left| a \right|}}\).
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{ - \sqrt {2019} }}{b}\).
\( \Rightarrow \Delta \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{ - \sqrt {2019} }}{b}} \right)\), \(OB = \dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\left| b \right|}}\).
Đường thẳng \(\Delta \) tạo với 2 trục tọa độ chính là tam giác OAB vuông tại O, có diện tích là \(S = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\left| a \right|}}.\dfrac{{\sqrt {2019} }}{{\left| b \right|}} = \dfrac{{2019}}{{2\left| {ab} \right|}}\) (đpcm).
