Đáp án + Giải thích các bước giải:
Bài `2`
`a)` `M(x)=x^2-2=0`
`=>x^2=2=(\sqrt{2})^2=(-\sqrt{2})^2`
`=>`$\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{array}\right.$
Vậy `M(x)` có nghiệm `x=\sqrt{2};x=-\sqrt{2}`
$\\$
`N(x)=-x^3-x=0`
`=>-x(x^2+1)=0` $(1)$
Với mọi `x` ta có: `x^2\ge 0=>x^2+1\ge 1>0`
`(1)=>-x=0=>x=0`
Vậy `N(x)` có nghiệm `x=0`
$\\$
`b)` `M(x)=x^2-2`
Với mọi `x` ta có: `x^2\ge 0`
`=>x^2-2\ge -2`
`=>M(x)\ge -2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=0`
Vậy $GTNN$ của $M(x)$ bằng $-2$ khi $x=0$
$\\$
`c)` `{N(x)}/{M(x)}={-x^3-x}/{x^2-2}\in ZZ` `(x^2-2\ne 0` với `x\in ZZ)`
Vì `x\in ZZ=>-x. {-x^3-x}/{x^2-2}\in ZZ`
`=>{x^4+x^2}/{x^2-2}\in ZZ`
`=>{x^4-2x^2+3x^2-6+6}/{x^2-2}\in ZZ`
`=>{x^2(x^2-2)+3(x^2-2)+6}/{x^2-2}\in ZZ`
`=>{(x^2-2)(x^2+3)+6}/{x^2-2}\in ZZ`
`=>{(x^2-2)(x^2+3)}/{x^2-2}+6/{x^2-2}\in ZZ`
`=>x^2+3+6/{x^2-2}\in ZZ` $(2)$
Vì `x\in ZZ=>x^2+3\in ZZ`
`(2)=>6/{x^2-2}\in ZZ`
`=>x^2-2\in Ư(6)={-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}`
`=>x^2\in {-4;-1;0;1;3; 4;5;8}`
Với mọi `x\in ZZ=>x^2\ge 0` và `x^2` là số chính phương
`=>x^2\in {0;1;4}`
`=>x\in {0;-1;1;-2;2}`
Vậy `x\in {0;-1;1;-2;2}` thỏa mãn đề bài
