Đáp án:
1) $M = \dfrac{{92}}{{25}}$
Giải thích các bước giải:
1) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;AB = 9cm;AC = 12cm\\
\Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 15cm\\
\Rightarrow \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5};\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}\\
\Rightarrow M = 3\sin B + 2{\cos ^2}C = 3.\dfrac{4}{5} + 2.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} = \dfrac{{92}}{{25}}
\end{array}$
Vậy $M = \dfrac{{92}}{{25}}$
2)
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}(\text{Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn})\\
\Rightarrow BD \bot AC = D;CE \bot AB = E
\end{array}$
Khi đó:
$\Delta ABC;BD \bot AC;CE \bot AB;BD \cap CE = H$
$\to H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
$ \Rightarrow AH \bot BC = F$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BFH} = \widehat {AFC} = {90^0}\\
\widehat {FBH} = \widehat {FAC}\left( { + \widehat {BCD} = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta BFH \sim \Delta AFC\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FA}} = \dfrac{{FH}}{{FC}}\\
\Rightarrow FA.FH = FB.FC
\end{array}$
c) Ta có:
$\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = {90^0}$
$\to 4$ điểm $A,E,H,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$
$\to $ Tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHD$ là trung điểm $AH$
d) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AEH} = \widehat {CEB} = {90^0}\\
\widehat {EAH} = \widehat {ECB}\left( { + \widehat {ABC} = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta CEB\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {CBE}\\
\Rightarrow \widehat {IHE} = \widehat {MBE}
\end{array}$
Lại có:
$I$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$ của tam giác $AEH$
$\to IE=IH=IA$
$\to \Delta IEH$ cân ở $I$
$ \Rightarrow \widehat {IHE} = \widehat {IEH}$
Tương tự: $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ của tam giác $BEC$
$ \Rightarrow \widehat {MBE} = \widehat {MEB}$
$ \Rightarrow \widehat {IEH} = \widehat {MEB}\left( {do:\widehat {IHE} = \widehat {IEH};\widehat {MBE} = \widehat {MEB}} \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {IEH} + \widehat {HEM} = \widehat {MEB} + \widehat {HEM}\\
\Rightarrow \widehat {IEM} = \widehat {BEC} = {90^0}\\
\Rightarrow IE \bot ME = E
\end{array}$
$\to IE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$ tại $E$
