Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.U = 14V\\
{I_A} = 1A\\
b.\left[ \begin{array}{l}
n = \dfrac{3}{4}MN\\
n = \dfrac{1}{4}MN
\end{array} \right.
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Điện trở tương đương của đoạn mạch là:
${R_{td}} = {R_1} + {R_2} + \dfrac{{{R_{MC}}.{R_{NC}}}}{{{R_b}}} = 1 + 2 + \dfrac{{8.8}}{{16}} = 7\Omega $

Cường độ dòng điện qua mạch là:

${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{U}{7}A$

Cường độ dòng điện qua điện trở Rmc là:

${I_{MC}} = \dfrac{{{R_{NC}}}}{{{R_b}}}.{I_m} = \dfrac{8}{{16}}.\dfrac{U}{7} = \dfrac{U}{{14}}A$

Hiệu điện thế qua hai đầu điện trở R1 là:
${U_1} = {I_m}.{R_1} = \dfrac{U}{7}.1 = \dfrac{U}{7}V$

Hiệu điện thế qua hai đầu điện trở Rmc là:
${U_{MC}} = {I_{MC}}.{R_{MC}} = \dfrac{U}{{14}}.8 = \dfrac{{4U}}{7}V$

Hiệu điện thế hai đầu mỗi đoạn mạch là:

$\begin{array}{l}
{U_V} = {U_{MC}} + {U_1}\\
 \Leftrightarrow 10 = \dfrac{U}{7} + \dfrac{{4U}}{7}\\
 \Leftrightarrow 70 = 5U \Rightarrow U = 14V
\end{array}$

Số chỉ của ampe kế là:
${I_A} = {I_{NC}} = \dfrac{{{R_{MC}}}}{{{R_b}}}.{I_m} = \dfrac{8}{{16}}.\dfrac{{14}}{7} = 1A$

b. Điện trở tương đương của đoạn mạch lúc này là:
${R_{td}}' = {R_1} + {R_2} + {R_{MN}} = 1 + 2 + \dfrac{{x\left( {16 - x} \right)}}{{x + 16 - x}} = \dfrac{{48 + x\left( {16 - x} \right)}}{{16}}$

Cường độ dòng điện qua toàn biến trở lúc này là:
${I_{MN}} = {I_m}' = \dfrac{U}{{{R_{td}}'}} = \dfrac{{14.16}}{{ - {x^2} + 16x + 48}} = \dfrac{{224}}{{48 + x\left( {16 - x} \right)}}$

Công suất tiêu thụ trên toàn biến trở lúc này là:

$\begin{array}{l}
{P_{MN}} = {I_{MN}}^2.{R_{MN}} = {\left[ {\dfrac{{224}}{{48 + x\left( {16 - x} \right)}}} \right]^2}.\dfrac{{x\left( {16 - x} \right)}}{{16}}\\
 \Leftrightarrow {P_{MN}} = \dfrac{{3136x\left( {16 - x} \right)}}{{{{\left[ {48 + x\left( {16 - x} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{3136}}{{{{\left[ {\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} + \sqrt {x\left( {16 - x} \right)} } \right]}^2}}}
\end{array}$

Công suất trên đạt giá trị cực đại Max khi ${{{\left[ {\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} + \sqrt {x\left( {16 - x} \right)} } \right]}^2}}$ Min

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }}}$ và ${\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }$ ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} + \sqrt {x\left( {16 - x} \right)}  \ge 2\sqrt {\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }}.\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }  = 8\sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} + \sqrt {x\left( {16 - x} \right)} } \right]^2} \ge {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 192
\end{array}$

Vậy công suất cực đại trên toàn biến trở là:
${P_{Max}} = \dfrac{{3136}}{{{{\left[ {\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} + \sqrt {x\left( {16 - x} \right)} } \right]}^2}}} = \dfrac{{3136}}{{192}} = 16,33W$

 CÔng suất trên toàn biến trở chỉ đạt giá trị cực đại khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{48}}{{\sqrt {x\left( {16 - x} \right)} }} = \sqrt {x\left( {16 - x} \right)}  \Leftrightarrow x\left( {16 - x} \right) = 48\\
 \Leftrightarrow  - {x^2} + 16x - 48 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 12\Omega \\
x = 4\Omega 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{R_{MC}} = 12\Omega  \Leftrightarrow {R_{NC}} = {R_b} - {R_{MC}} = 16 - 12 = 4\Omega \\
{R_{MC}} = 4\Omega  \Leftrightarrow {R_{NC}} = {R_b} - {R_{MC}} = 16 - 4 = 12\Omega 
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy cần điều chỉnh con chạy C:

$\left[ \begin{array}{l}
n = \dfrac{{{R_{MC}}}}{{{R_b}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4}MN\\
n = \dfrac{{{R_{MC}}}}{{{R_b}}} = \dfrac{4}{{16}} = \dfrac{1}{4}MN
\end{array} \right.$