Lời giải:
a)
Phản chứng. Giả sử ba số đã cho đều nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |p(-1)|=|1-a+b|< \frac{1}{2}\\ |p(0)|=b< \frac{1}{2}\\ |p(1)|=|1+a+b|< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-1}{2}< 1-a+b< \frac{1}{2}(1)\\ \frac{-1}{2}< b< \frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2}< 1+a+b< \frac{1}{2}(2)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1)+(2) thu được: \(-1< 2+2b< 1\Leftrightarrow \frac{-1}{2}< b+1< \frac{1}{2}\) (3)
Lại có: \(\frac{-1}{2}< b< \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}> -b> \frac{-1}{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{2}< -b< \frac{1}{2}(4)\)
Lấy (3)+(4) có: \(-1< 1< 1\) (vô lý)
Do đó điều giả sử là sai.
Nghĩa là một trong 3 số đã cho phải có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\)
b)
Đặt \((2017,2018)=(m,n)\)
Khi đó: \(p(2017)p(2018)=(m^2+am+b)(n^2+an+b)\)
\(=(mn)^2+am^2n+m^2b+amn^2+a^2mn+amb+bn^2+anb+b^2\)
\(=(mn+am+b)^2+a(mn+am+b)(n-m)+b(n-m)^2\)
Thay \((m,n)=(2017, 2018)\)
\(\Rightarrow p(2017)p(2018)=(2017.2018+2017a+b)^2+a(2017.2018+2017a+b)+b\)
\(=f(2017.2018+2017a+b)\)
Do đó tồn tại số r thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cụ thể \(r=2017.2018+2017a+b\)
