Chiều cao của khối trụ có thể lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là: A.\(R\sqrt 3 \) B.\(\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\) C.\(\dfrac{{4R\sqrt 3 }}{3}\) D.\(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
Phương pháp giải: - Gọi chiều cao của hình trụ là \(h = 2x\,\,\left( {0 < x < R} \right)\). Tính bán kính đáy khối trụ theo \(R\) và \(x\). - Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\). - Lập BBT tìm GTLN của thể tích, từ đó suy ra \(x\) và tìm chiều cao \(h\). Giải chi tiết: + Gọi chiều cao của hình trụ là \(h = 2x\,\,\left( {0 < x < R} \right)\). + Bán kính hình trụ \(r = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \) (định lí Pytago) + Thể tích khối trụ: \(V = \pi {r^2}h = \pi \left( {{R^2} - {x^2}} \right).2x = 2\pi \left( { - {x^3} + {R^2}x} \right)\). + Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + {R^2}x\,\,\left( {0 < x < R} \right)\) có: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + {R^2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\). BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;R} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2{R^3}\sqrt 3 }}{9}\). Vậy khi thể tích khối trụ lớn nhất thì chiều cao khối trụ là \(h = 2x = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\). Chọn D.