$x^{2} + \left ( m - 2 \right )x - 3m + 10 = 0$ $\left ( 1 \right )$
$Δ = \left ( m - 2 \right )^{2} - 4.\left ( - 3m + 10 \right ) = m^{2} - 4m + 4 + 12m - 40 = m^{2} + 8m - 36$
Phương trình $\left ( 1 \right )$ có nghiệm
$\Leftrightarrow Δ \geq 0$
$\Leftrightarrow m^{2} + 8m - 36 \geq 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \leq -4 - 2\sqrt{13}\\x \geq -4 + 2\sqrt{13}\end{array} \right.$
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 - m\\ x_{1}x_{2} = 10 - 3m \end{matrix}\right.$
Do đó ta có:
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= \left ( x_{1} + x_{2} \right )^{2} - 2x_{1}x_{2}$
$= \left ( 2 - m \right )^{2} - 2.\left ( 10 - 3m \right )$
$= m^{2} - 4m + 4 + 6m - 20$
$= m^{2} + 2m - 16$
$= \left ( m^{2} + 2m + 1 \right ) - 17$
$= \left ( m + 1 \right )^{2} - 17 \geq -17$ với mọi $m$
Dấu "=" xảy ra khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1$ (Không thỏa mãn ĐK)
