Giải thích các bước giải:
Ta có bổ đề sau:
$(a+b)(b+c)(a+c) \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac)$
Chứng minh như sau:
Ta có:
$(a+b)(b+c)(a+c) =(a^2b+a^2c)+(b^2a+b^2c)+(c^2a+c^2b)+2abc$
Ta có:
$(a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^2b+a^2c)+(b^2a+b^2c)+(c^2a+c^2b)+3abc$
$⇒(a+b)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc$
Mặt khác: $(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq 9abc$
$⇒-abc \geq \frac{1}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac) $
$⇒(a+b)(b+c)(a+c) \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac)$ (Đpcm).
Áp dụng vào biểu thức trên và Theo bất đẳng thức $Cauchy$:
$⇒VT \geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq \frac{8}{9}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.(ab+bc+ac)=\frac{8}{3}.(ab+bc+ac)$
Điều cần chứng minh chuyển thành:
$⇒\frac{8}{3}.(ab+bc+ac) \geq 2.(1+a+b+c)$
$⇔a+b+c \geq 3$
Mà điều này luôn đúng, bởi vì Theo $Cauchy$, Ta có: $a+b+c \geq 3.\sqrt[]{abc}=3 $
Vậy $(a+b)(b+c)(a+c) \geq 2.(1+a+b+c)$.
