Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Đổi biến \(a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}\) thì \(a,b,c > 0\,;\)\(a + b + c = 3\)
Thay \(a + b + c = 3\) vào biểu thức để phân tích, sau đó sử dụng AM – GM.Giải chi tiết:Từ giả thiết \(xy + yz + zx = 3xyz\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 3\).
Đặt \(a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}\) thì \(a,b,c > 0;\)\(a + b + c = 3\).
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }}\)\( + \dfrac{{ab}}{{\sqrt {3a + bc} }} \le \dfrac{3}{2}\)
Có \(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }}\)\( = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} }}\) \( = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\)\( \le \dfrac{{bc}}{2}\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right)\) (Theo bất đẳng thức AM – GM)
Tương tự :\(\dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }} \le \dfrac{{ca}}{2}\left( {\dfrac{1}{{b + a}} + \dfrac{1}{{b + c}}} \right)\)\(;\,\,\,\,\dfrac{{ab}}{{\sqrt {3c + ab} }} \le \dfrac{{ab}}{2}\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{c + b}}} \right)\)
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:
\(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }} + \dfrac{{ab}}{{\sqrt {3c + ab} }}\)\( \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{bc + ca}}{{a + b}} + \dfrac{{bc + ab}}{{a + c}} + \dfrac{{ca + ab}}{{b + c}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \dfrac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 1\) hay \(x = y = z = 1\).
